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Mathematik » Stochastik und Statistik » Verknüpfung gleichverteilter Zufallsvariabler ist wieder gleichverteilt
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Universität/Hochschule Verknüpfung gleichverteilter Zufallsvariabler ist wieder gleichverteilt
Butterblume00
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-10 11:59


Hallo allerseits!

Ich habe zu folgender Aufgabe leider keine Ahnung, wie ich anfangen soll, deshalb wäre ich über jede Hilfe froh.

Es sei \( (X_n)_{n\geq1} \) eine unabhängige Folge von auf der Menge {0,1,2,...,9} gleichverteilten Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega,F,P) \).
Zu zeigen ist, dass \(X := \sum_{n\geq 1} \frac{X_n}{10^n}\) gleichverteilt auf dem Einheitsintervall ist.

Danke schon einmal im Voraus!



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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7123
Wohnort: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-10 12:40

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

so als Grundidee: bei deiner Summe handelt es sich ja um die Menge aller Dezimalbrüche aus \([0,1]\). Darüber könntest du nun versuchen, \(P(X\le k)=k\) nachzurechnen, das wäre ja dann die gesuchte Gleichverteilung.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
semasch
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 43
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-10 22:56


Moin Butterblume00,

vielleicht noch als alternativer Ansatz zu Diophants Vorschlag könntest du auch die charakteristische Funktion
\[\phi_X(t) = \int e^{itX} dP\] von $X$ berechnen und mit der einer Zufallsvariable $U \sim U(0,1)$ vergleichen, die sich zu $\phi_U(t) = \frac{e^{it}-1}{it}$ ergibt, da die Gleichheit der charakteristischen Funktionen die Gleichheit der Verteilungen der Zufallsvariablen implizieren würde. Das Ganze natürlich unter der Voraussetzung, dass ihr charakteristische Funktionen bereits behandelt habt.

LG,
semasch



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