| Autor |
 Differenzierbarkeit |
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roberto_325
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 19.05.2021
Mitteilungen: 26
 |  Themenstart: 2021-06-10
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Hallo, gegeben ist die Funktion f : \(\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) und
\( f(x) = \{x^2 cos \frac{1}{x}\) für \(x \neq 0\) und 0 für \(x = 0 \)
Gezeigt werden soll, dass f differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar ist.
Ich muss doch für die Differenzierbarkeit zeigen, dass der Grenzwert \(\lim_{x \to x_*}\frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*}\) existiert oder?
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10536
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
außerhalb von \(x=0\) kannst du ja die Differenzierbarkeit der beteiligten Funktionen verwenden. Die Existenz des Diffentialquotienten muss dann eben wie gesagt noch an der Stelle \(x_*=0\) gezeigt werden.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-10
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Hallo,
Für die Differenzierbarkeit ist eigentlich nur die Differenzierbarkeit in $0$ interessant. Für $x\neq 0$ ist $f$ ja differenzierbar als Produkt und Verkettung differenzierbarer Funktionen.
Für die Differenzierbarkeit in $0$ musst du also zeigen, dass der Grenzwert
$$
\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}x
$$
existiert.
LG Nico
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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roberto_325
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Dabei seit: 19.05.2021
Mitteilungen: 26
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-10
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Okay also:
\(\lim_{x_*\to 0} \frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} =\lim_{x_*\to 0}\frac{f(x)}{x} =
\lim_{x_*\to 0}\frac{x^2cos(1/x)}{x} = \lim_{x_*\to 0}xcos(1/x) \)
Ich bin mir nicht sicher ob ich es so richtig mache.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10536
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-10
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Hallo,
doch: bis dahin ist (bis auf die falsche Notation) alles gut. Jetzt noch den Grenzwert berechnen (bedenke dabei die Beschränktheit der Kosinusfunktion).
Gruß, Diophant
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2556
| Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-10
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Huhu,
\quoteon(2021-06-10 17:18 - roberto_325 in Beitrag No. 3)
\(\lim_{x_*\to 0} \frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} =\lim_{x_*\to 0}\frac{f(x)}{x} =[...]
\)
\quoteoff
irgendwie bist du da mit \(x_*\) und \(x\) durcheinander. Der erste Ausdruck ist nicht der Differentialquotient wie du ihn noch im Startbeitrag richtig geschrieben hast. Hinter dem Gleichheitszeichen taucht kein \(x_*\) mehr auf und dennoch willst du den Grenzwert \(x_* \to 0\) bilden - das sollte dir zu denken geben.
Gruß,
Küstenkind
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4428
 | Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-10
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\quoteon(2021-06-10 17:18 - roberto_325 in Beitrag No. 3)
\(\lim_{x_*\to 0} \frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} =\lim_{x_*\to 0}\frac{f(x)}{x}\)
\quoteoff
Du bist hier mit dem Malen von Sternchen durcheinandergekommen. Die Variable, die gegen 0 geht, sollte dieselbe sein, die im Limes auf der rechten Seite auch tatsächlich auftaucht.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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roberto_325
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 19.05.2021
Mitteilungen: 26
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-10
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Oh ok ich war auch etwas verwirrt bei meiner Notation :)
Also für x=0:
\(\lim_{x_* \to 0}\frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} = \lim_{x_* \to 0}\frac{f(x_*)}{x_*} = \lim_{x_* \to 0}\frac{ x_*^2cos(\frac{1}{x_*})}{x_*} = \lim_{x_* \to 0} x_*cos(\frac{1}{x_*}) = 0 \) Damit ist f(x) differenzierbar. Wie zeige ich jetzt, dass f nicht stetig differenzierbar ist? Leite ich die Funktion einfach ab und zeige, dass sie nicht stetig ist?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
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| Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-10
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\quoteon(2021-06-10 19:15 - roberto_325 in Beitrag No. 7)
Wie zeige ich jetzt, dass f nicht stetig differenzierbar ist?
\quoteoff
Du kennst $f'(0)$ und kannst $f'(x)$ für $x\ne0$ durch Anwendung der üblichen Ableitungsregeln ausrechnen. Danach musst du nur noch prüfen, dass $\lim_{x\to0}f'(x)=f'(0)$ nicht gilt.
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
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\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
wieso hast du denn die Tipps von Kuestenkind und zippy nicht mit aufgenommen? Es sollte so heißen:
\(\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{ x^2cos(\frac{1}{x})}{x} = \lim_{x \to 0} x\cdot cos(\frac{1}{x}) = 0 \)
Also \(x\) strebt gegen Null, nicht \(x_*\).
\quoteon(2021-06-10 19:15 - roberto_325 in Beitrag No. 7)
Wie zeige ich jetzt, dass f nicht stetig differenzierbar ist? Leite ich die Funktion einfach ab und zeige, dass sie nicht stetig ist?
\quoteoff
Genau. Also: dass die Ableitung nicht stetig ist. Die fragliche Stelle sollte jetzt klar sein.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]\(\endgroup\)
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2556
| Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-10
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Huhu,
nur nochmal zu Sicherheit: Dort wurde nun schon ein \(x_*\) ersetzt, während die anderen dort noch stehen.
\quoteon(2021-06-10 19:19 - Diophant in Beitrag No. 9)
\(\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} \)
\quoteoff
Um es noch einmal korrekt hinzuschreiben:
Der Differentialquotient lautet:
\(\displaystyle \lim_{x \to x_*}\frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} \)
Den untersuchen wir nun an der Stelle \(x_*=0\). Damit:
\(\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \)
Gruß,
Küstenkind
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roberto_325
Ehemals Aktiv
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Mitteilungen: 26
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-10
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Achso, ich dachte man untersucht es bei x = 0. Dann ergibt es natürlich Sinn.
Bei der Albleitung habe ich : \(2xcos(\frac{1}{x})+sin(\frac{1}{x})\)
Dann davon den limes bilden: \(\lim_{x\to 0 }2xcos(\frac{1}{x})+sin(\frac{1}{x})\) = existiert nicht wegen dem \(sin(\frac{1}{x})\), damit ist es auch nicht = f'(0) und damit nicht stetig differenzierbar.
Ist das so korrekt?
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10536
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.12, eingetragen 2021-06-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2021-06-10 19:40 - roberto_325 in Beitrag No. 11)
Achso, ich dachte man untersucht es bei x = 0.
\quoteoff
In der Regel verwendet man solche Bezeichnungen wie \(x_0\), \(x_*\) oder auch \(\xi\) für feste x-Werte. Hier also: \(x_*=0\).
\quoteon(2021-06-10 19:40 - roberto_325 in Beitrag No. 11)
Bei der Albleitung habe ich : \(2xcos(\frac{1}{x})+sin(\frac{1}{x})\)
Dann davon den limes bilden: \(\lim_{x\to 0 }2xcos(\frac{1}{x})+sin(\frac{1}{x})\) = existiert nicht wegen dem \(sin(\frac{1}{x})\), damit ist es auch nicht = f'(0) und damit nicht stetig differenzierbar.
Ist das so korrekt?
\quoteoff
Ja. Jedoch solltest du noch sauber argumentieren, warum der Term an der Stelle \(x_*=0\) nicht stetig ist. Stichwort: links- und rechtsseitiger Grenzwert. Oder so, wie es zippy in Beitrag #8 formuliert hat.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4428
| Beitrag No.13, eingetragen 2021-06-10
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\quoteon(2021-06-10 19:45 - Diophant in Beitrag No. 12)
Stichwort: links- und rechtsseitiger Grenzwert.
\quoteoff
Da die beide nicht existieren, ergibt es wenig Sinn, sich mit denen zu beschäftigen.
Das Argument, dass $\lim_{x\to0}\sin\frac1x$ nicht existiert, reicht eigentlich aus.
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2556
| Beitrag No.14, eingetragen 2021-06-11
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Huhu,
auch wenn schon abgehakt ist:
\quoteon(2021-06-10 19:15 - roberto_325 in Beitrag No. 7)
\(\lim_{x_* \to 0}\frac{f(x)-f(x_*)}{x-x_*} = \lim_{x_* \to 0}\frac{f(x_*)}{x_*} = \lim_{x_* \to 0}\frac{ x_*^2cos(\frac{1}{x_*})}{x_*} = \color{red}{\lim_{x_* \to 0} x_*cos(\frac{1}{x_*}) = 0} \) Damit ist f(x) differenzierbar.
\quoteoff
Ist dir dieser (rote) Grenzwert nun überhaupt klar? Oder anders gefragt: Kannst du das beweisen?
Gruß,
Küstenkind
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