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  Implizite Funktion |
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Strandkorb
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.05.2021
Mitteilungen: 540
 |  Themenstart: 2021-06-11
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Hallo Zusammen
Ich habe folgende Aufgabe:
Beweise dass \(x+log(x)+z-2=0\) und \(2x-y^2+z-1=0\) zwei Funktionen \(y=g(x),z=h(x)\) in einer Umgebung von x=0 impliziert definiert mit \(g(0)=1,h(0)=2\). Finde die Taylorentwicklung erster Ordnung für g und h.
Ich hätte das wie folgt gelöst, bin mir da aber nicht sicher ob das so formal so korrekt ist.
Wenn das so stimmt wäre ich froh wenn mir jemand die Intuition dieser Ableitungsformel von ganz am Schluss näherbringen könnte, denn wir hatten diese nur für 1 Funktion eingeführt, also wenn man zwei variabeln (x,y) hat und diese dann mit (x,g(x)) darstellen kann. Hier habe ich ziemlich viel Zeit verschwendet die richtige Matrix zu finden vorallem da ich zuerst nicht erkannt habe dass \((g'(0),h'(0))\) gemeinsam berechnet wird.
Wäre euch also dankbar wenn mir das jemand ausführlich erklären könnte, vielen Dank dafür.
So hier wäre noch meine Lösung:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54650_Neue_Datei_06-11-2021_08.48_1.jpg
Vielen Dank für eure Hilfe.
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2556
| Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-11
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Huhu Strandkorb,
\quoteon(2021-06-11 09:03 - Strandkorb im Themenstart)
Hier habe ich ziemlich viel Zeit verschwendet die richtige Matrix zu finden vorallem da ich zuerst nicht erkannt habe dass \((g'(0),h'(0))\) gemeinsam berechnet wird.
\quoteoff
ohne Matrix und separat:
Wir differenzieren nach \(x\):
\(\displaystyle (1):\quad 1+\frac{y'}{y}+z'=0\)
\(\displaystyle (2):\quad 2-2yy'+z'=0\)
Wir subtrahieren:
\(\displaystyle (3):\quad -1+\frac{y'}{y}+2yy'=0\)
Wir lösen nach \(y'\) auf:
\(\displaystyle y'=\frac{y}{1+2y^2}\)
Somit \(g'(0)=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}\)
Wir setzen in \((2)\) ein:
\(\displaystyle (2):\quad 2-2\cdot 1\cdot \frac{1}{3}+z'=0\iff z'=-\frac{4}{3}\)
Gruß,
Küstenkind
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2080
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-11
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\quoteon(2021-06-11 09:03 - Strandkorb im Themenstart)
Wenn das so stimmt wäre ich froh wenn mir jemand die Intuition dieser Ableitungsformel von ganz am Schluss näherbringen könnte, denn wir hatten diese nur für 1 Funktion eingeführt, also wenn man zwei variabeln (x,y) hat und diese dann mit (x,g(x)) darstellen kann.
\quoteoff
Zur Intuition dahinter finde ich dieses Video sehr schön. Aber auch ganz allgemein:
Ist $F\colon \mathbb R^n\times \mathbb R^m\to \mathbb R^m$ stetig differenzierbar, $(a,b)\in \mathbb R^n\times \mathbb R^m$ mit $F(a,b)=0$ und $D_yF(a,b)$ invertierbar, $U_1\subseteq \mathbb R^n$ offene Umgebung von $a$ sowie $U_2\subseteq \mathbb R^m$ offene Umgebung von $b$ und ist $g\colon U_1\to U_2$ stetig differenzierbar, so dass für alle $(x,y)\in U_1\times U_2$ genau dann $F(x,y)=0$ gilt, wenn $y=g(x)$ gilt, so erhält man einfach mit der Kettenregel:
$$
F(a,b)=0 \ \Longleftrightarrow \ F(a,g(a))=0 \ \Longrightarrow \ 0=D_xF(a,b)+D_yF(a,b)\circ Dg(a).
$$
Also:
$$
Dg(a)=-\left(D_yF(a,b)\right)^{-1}\circ D_xF(a,b).
$$
Dabei bezeichnet $D_yF(a,b)$ den Teil der Jacobi-Matrix, der die partiellen Ableitungen nach den $y$-Variablen $(y_1,\dots,y_m)$ enthält. (Bzw. die lineare Abbildung, die durch diesen Teil dargestellt wird.) Durch die stetige Differenzierbarkeit von $F$ kann man die Regel auch auf eine offene Umgebung von $(a,b)$ fortsetzen.
LG Nico
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Abercus
Junior 
Dabei seit: 06.05.2021
Mitteilungen: 8
 | Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-12
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Hallo!
Ich war gerade dabei mir die Aufgabe durchzurechnen, da ist mir aufgefallen, dass du in deiner Frage x+log(x)+z-2 geschrieben hast, während du in deiner Rechnung x+log(y)+z-2 geschrieben hast.
Ist das ein Tippfehler, oder was steht in der Angabe?
Grüße
Abercus
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Strandkorb
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.05.2021
Mitteilungen: 540
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-12
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Oh ja das ist ein Tippfehler, sollte mit y sein
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