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Mathematik » Topologie » Kompaktheit bei diskreter Metrik
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Universität/Hochschule J Kompaktheit bei diskreter Metrik
tobias150801
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  Themenstart: 2021-06-11

Hallo, Ich verwirre mich gerade selbst bei einer recht simplen Aufgabe. Gegeben sind die reellen Zahlen mit der diskreten Metrik. Nun ist gefragt, ob das Intervall \([0,1]\) kompakt ist. Die Lösung der Aufgabe liegt mir vor, allerdings versteh ich nicht, wie sich die Begriffe "offen" und "abgeschlossen" bezüglich der diskreten Metrik verändern. Dass \([0,1]\) nicht kompakt ist, würde man ja mit Heine-Borel zeigen; man sucht sich eine offene Überdeckung und zeigt, dass dann keine endliche Teilüberdeckung existiert. Der Beweis nach Musterlösung lautet "Das Intervall \([0,1]\) ist nicht kompakt, denn \(\{\{x\}| x ∈ [0, 1]\}\) ist eine offene Überdeckung von \([0,1]\). Wählt man eine endliche Teilüberdeckung davon aus, kann man offensichtlich nur endlich viele Punkte überdecken, \([0,1]\) ist jedoch überabzählbar" Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?` Viele Grüße Tobias


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-11

Hallo, alle Teilmengen von $[0,1]$ sind bezüglich der diskreten Metrik offen (und gleichzeitig abgeschlossen). Somit sind insbesondere alle einelementigen Mengen offen. Es ist also \[[0,1]=\bigcup_{x\in[0,1]}\{x\}\] eine Vereinigung offener Mengen, aus der ich keine endlich vielen Mengen auswählen kann, die $[0,1]$ immer noch überdecken. Wodurch sind also die kompakten Mengen charakterisiert? Und der Satz von Heine-Borel sagt, dass in endlich dimensionalen normierten Räumen alle abgeschlossenen und beschränkten Mengen kompakt sind. $[0,1]$ ist auch bezüglich der diskreten Metrik abgeschlossen und beschränkt, aber wir bestrachten hier keinen normierten sondern nur einen metrischen Raum.


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tobias150801
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-11

Hallo ochen, \quoteon(2021-06-11 17:28 - ochen in Beitrag No. 1) alle Teilmengen von $[0,1]$ sind bezüglich der diskreten Metrik offen (und gleichzeitig abgeschlossen). \quoteoff genau da hakt es. Wenn das gilt, dann ist mir der Rest klar. Ich schreib einfach mal was ich denke (bzgl. Offenheit): Eine Menge \(A\) ist ja offen, wenn es für jeden Punkt \(a\in A\) ein \(\epsilon>0\) gibt, sodass die Umgebung \(B_{\epsilon}(a)=\{x\in \mathbb{R}|d(x,a)<\epsilon\}\) Teilmenge von \(A\) ist. Mein Problem ist nun, dass aufgrund der Definition der diskreten Metrik der Abstand ja nur 0 oder 1 betragen kann. Wähle ich mein \(\epsilon>1\), z.B. \(\epsilon=2\), dann hätte ich ja, dass \(B_{\epsilon}(a)=\mathbb{R}\), was keine Teilmenge von \(A\) wäre. Und wenn ich \(0<\epsilon<1\) wähle, z.B. \(\epsilon=1/2\), dann wäre \(B_{\epsilon}(a)=\{a\}\subset A\). Wäre das dann korrekt? Gruß Tobias Edit: Ich meinte die Überdeckungskompaktheit und hab den Namen mit Heine-Borel verwechselt.


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Auch für \( \varepsilon>1\) ist \( B_\varepsilon(a)=[0,1]\). Eine größere Menge betrachtest du nicht. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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tobias150801
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-11

Das verstehe ich nicht. Wenn ich \(\epsilon=2\) betrachte, dann ist \(B_{\epsilon}(a)=\{x\in \mathbb{R}|d(x,a)<2\}\) und schließlich gilt nach Definition der diskreten Metrik, dass jeder Punkt von a einen Abstand von 0 oder 1 hat, in beiden Fällen also <2. Warum enthält dann \(B_{\epsilon}(a)\) nicht alle reellen Zahlen? Bin ich blind oder was ist daran falsch? Viele Grüße Tobias


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Wally
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Ich dachte, du betrachtest nur \( [0,1]\). Aber OK. Natürlich ist dann \( B_2(1)=\IR\). Aber was soll das aussagen? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-11

\quoteon(2021-06-11 21:22 - tobias150801 in Beitrag No. 4) Warum enthält dann \(B_{\epsilon}(a)\) nicht alle reellen Zahlen? Bin ich blind oder was ist daran falsch? \quoteoff Doch, du liegst hier völlig richtig! 🙂 [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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tobias150801
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-11

Nein, das war nur eine Überlegung, wie ich mein \(\epsilon\) zu wählen habe, damit die Umgebung wieder in \([0,1]\) liegt. \quoteon Und wenn ich \(0<\epsilon<1\) wähle, z.B. \(\epsilon=1/2\), dann wäre \(B_{\epsilon}(a)=\{a\}\subset A\). Wäre das dann korrekt? \quoteoff ^ Dann hätte ich ja gezeigt, dass \([0,1]\) offen ist. Grüße Tobias [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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ochen
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-12

Ja und nicht nur das, sondern sogar, dass alle Mengen $A\subseteq [0,1]$ offen sind. Denn für jedes $x\in A$ ist $B_{1/2}(x)=\{x\}$ eine offene Umgebung um $x$, die in $A$ enthalten ist.


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tobias150801
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-12

Ok Vielen Dank. Damit hätte sich dann alles geklärt 👍 Viele Grüße Tobias


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