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Mathematik » Stochastik und Statistik » geometrisch verteilte Zufallsvariablen
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Universität/Hochschule J geometrisch verteilte Zufallsvariablen
kaktusplanet
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  Themenstart: 2021-06-12

Hallo, ich komme zurzeit nicht bei dieser Aufgabe weiter: "Seien X,Y zwei unabhängige, jeweils zum Parameter p\el\ (0,1) geometrisch verteilte Zufalssvariablen. Berechnen Sie explizit 1) P(X>=2Y\|Y=k), k\el\ \IN und dann P(X>=Y) 2) P(max\(X, Y\)<=k), k\el\IN " Zu erstens habe ich schonmal das raus: P(X>=2Y\|Y=k) = (P(X>=2 \cut\ Y=k))/(P(Y=k)) = (P(X>=2Y)*P(Y=k))/(P(Y=k)) = P(X>=2Y) =sum(p*(1-p)^(k-1),k=2k,\inf) P(X>=2Y) = sum(sum(p*(1-p)^(k-1),k=2k,\inf ),i=0,\inf ) Und zu zweitens habe ich keine Idee bzw. das max\(X,Y\) verwirrt mich. Schonmal danke im voraus!


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-12

Hallo kaktusplanet, \quoteon(2021-06-12 12:52 - kaktusplanet im Themenstart) i) P(X>=2Y\|Y=k) = (P(X>=2Y \cut\ Y=k))/(P(Y=k)) = (P(X>=2Y)*P(Y=k))/(P(Y=k)) = P(X>=2Y) ii) sum(p*(1-p)^(k-1),k=2k,\inf) \quoteoff i) Schreibe hier: \(P(X\geq2Y|Y=k) = P(X\geq2Y \cap\ Y=k)/P(Y=k) = P(X\geq 2k)\cdot P(Y=k)/P(Y=k) = P(X\geq2k)\) ii) Schreibe hier: \(\sum_{i=2k}^\infty p\cdot(1-p)^{i-1}\) und rechne das aus.


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kaktusplanet
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-12

Hallo StrgAltEntf, \quoteon(2021-06-12 14:32 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1) i) Schreibe hier: \(P(X\geq2Y|Y=k) = P(X\geq2Y \cap\ Y=k)/P(Y=k) = P(X\geq 2k)\cdot P(Y=k)/P(Y=k) = P(X\geq2k)\) ii) Schreibe hier: \(\sum_{i=2k}^\infty p\cdot(1-p)^{i-1}\) und rechne das aus. \quoteoff Wäre dann P(X>=Y) = sum(sum(p*(1-p)^(i-1),i=2k,\inf),j=0,\inf) ? Und hättest du eine Idee für P(max\(X,Y\)<=k)?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-12

\quoteon(2021-06-12 14:51 - kaktusplanet in Beitrag No. 2) Wäre dann P(X>=Y) = sum(sum(p*(1-p)^(i-1),i=2k,\inf),j=0,\inf) ? \quoteoff Nicht ganz. \(\displaystyle P(X\geq Y)=\sum_{j=0}^\infty P(Y=j)\cdot\sum_{i=j}^\infty P(X=i)\). Zu 2) \(\max(X,Y)\leq k\iff X\leq k\wedge Y\leq k\)


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kaktusplanet
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-12

\quoteon(2021-06-12 15:02 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3) Zu 2) \(\max(X,Y)\leq k\iff X\leq k\wedge Y\leq k\) \quoteoff Dann ist P(max\(X,Y\)<=k) = P(X<=k \cut\ Y<=k) bzw. weil X und Y unabhängig sind P(X<=k)*P(Y<=k)?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-12

\quoteon(2021-06-12 15:19 - kaktusplanet in Beitrag No. 4) \quoteon(2021-06-12 15:02 - StrgAltEntf in Beitrag No. 3) Zu 2) \(\max(X,Y)\leq k\iff X\leq k\wedge Y\leq k\) \quoteoff Dann ist P(max\(X,Y\)<=k) = P(X<=k \cut\ Y<=k) bzw. weil X und Y unabhängig sind P(X<=k)*P(Y<=k)? \quoteoff 👍


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