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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Autokorrelation Notation
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Universität/Hochschule J Autokorrelation Notation
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  Themenstart: 2021-06-15

Ich stehe vor einem Problem. Undzwar weiss ich nicht, wie man auf das was mit einem roten Fragezeichen gekennzeichnet ist, kommt. Ich weiss aus der Definition das $\varphi_{ss}(\tau) = \overline{s(t) \cdot s(t + \tau)} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} s(t) \cdot s(t + \tau) dt = \varphi_{ss}^{L}(\tau)$ Also ein Leistungssignal ist. Sobald aber im Integranten mehr als nur eine Variable im Argument ist, komme ich nicht weiter. Die Ausganssituation ist hierbei: $\varphi_{gg} = \overline{g(t) \cdot g(t + \tau)}$ Wobei $g(t) = s(t) * h(t)$ ist. Sprich s(t) gefaltet mit h(t) https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53320_Quadratischer_Mittelwert_u._Autokorrelation.png


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-15

Hallo Sinnfrei, Deine erste Gleichung sollte mit $\varphi_{ss}$ beginnen, der Index gibt doch die Signale an, deren Korrelation berechnet wird. Im Integranden steht das Produkt der Signale mit den Argumenten $$t_1=t \quad(1)$$ (mit der Integrationsvariablen $t$) und $$t_2=t+\tau \quad(2)$$ wobei $\tau$ das Argument der Korrelationsfunktion ist. Wenn $t_1$ und $t_2$ andere Werte haben, wie in der handschriftlichen Formel, kannst Du das entsprechende Argument von $\varphi_{ss}$ mit Hilfe der Gleichungen $(1)$ und $(2)$ bestimmen. Die Integration sollte von $-T$ bis $T$ laufen. Servus, Roland


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15

Also oben in meiner Frage hatte ich fälschicher Weise anstelle von $\varphi_{gg}(\tau)$ $\varphi_{ss}(\tau)$ hingeschrieben, das jedoch $\varphi_{gg}$ sein sollte und $g = s(t) * h(t)$ also s mit h gefaltet ist. Daher ist die AKF an erster Stelle $\varphi_{gg}(\tau) = \overline{(\int_{-\infty}^{+\infty} s(t^{\text{'}}) \cdot h(t - t^{\text{'}}) \cdot dt^{\text{'}}) \cdot (\int_{-\infty}^{+\infty} s(t^{\text{''}} + \tau) \cdot h(t - t^{\text{''}}) \cdot dt^{\text{''}})}$ Wobei ich aber hier, auf der rechten Seiten des Produkt's nicht verstehe, wie man auf $s(t^{\text{''}} + \tau)$ kommt. Müsste das an dieser Stelle nicht heißen: $s(t^{\text{''}}) \cdot h(t + \tau - t^{\text{''}})$ ? Im nächsten Schritt wurde dann auf der linken und der rechten Seite des Produkt's, die Kommutativität der Faltung ausgenutzt, indem die Argumente der Funktionen $s$ und $h$ miteinander getauscht werden. $\varphi_{gg}(\tau) = \overline{(\int_{-\infty}^{+\infty} s(t - t^{\text{'}}) \cdot h(t^{\text{'}}) \cdot dt^{\text{'}}) \cdot (\int_{-\infty}^{+\infty}s(t - t^{\text{''}} + \tau) \cdot h(t^{\text{''}}) \cdot dt^{\text{''}})}$ Somit ist meine erste Gleichung $\varphi_{gg} = \overline{g(t) \cdot g(t+ \tau)}$ jetzt weiss ich nicht was du mit (1), (2) und mit \quoteon(2021-06-15 10:06 - rlk in Beitrag No. 1) \quoteoff meinst


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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-16

\quoteon(2021-06-15 10:06 - rlk in Beitrag No. 1) Hallo Sinnfrei, Deine erste Gleichung sollte mit $\varphi_{ss}$ beginnen, der Index gibt doch die Signale an, deren Korrelation berechnet wird. Im Integranden steht das Produkt der Signale mit den Argumenten $$t_1=t \quad(1)$$ (mit der Integrationsvariablen $t$) und $$t_2=t+\tau \quad(2)$$ wobei $\tau$ das Argument der Korrelationsfunktion ist. Wenn $t_1$ und $t_2$ andere Werte haben, wie in der handschriftlichen Formel, kannst Du das entsprechende Argument von $\varphi_{ss}$ mit Hilfe der Gleichungen $(1)$ und $(2)$ bestimmen. Die Integration sollte von $-T$ bis $T$ laufen. Servus, Roland \quoteoff Wären dann (1) und (2) in diesem Fall: $t_1 = t - t^{\text{'}}$ und $t_2 = t - t^{\text{''}} + \tau$ ? Jetzt müsste man das ja nach $t_1$ umformen und in $t_2$ für $t$ einsetzen Dann wäre $t = t_1 + t^{\text{'}}$ Das dann in $t_2$ eingesetzt ergibt dann: $t_2 = t_1 + t^{\text{'}} - t^{\text{''}} + \tau$ Dann komme ich auf folgendes: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53320_t1_und_t2_AKF.png Jetzt ist meine Frage, wie man in der rechten $s$ Funktion ein $t_1$ drine hat? Müsste da nicht auch $t$ stehen?


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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-16

Hallo Sinnfrei, mit $(1)$ und $(2)$ habe ich die beiden Gleichungen in Beitrag 1 gemeint. Deine Umformungen in Beitrag 3 sind aber nicht zielführend. Ich wollte Dir helfen zu erkennen, dass das Argument der Korrelationsfunktion den Wert $t_2 - t_1$ hat. Mit dieser Methode solltest Du auch die Frage nach den Argumenten im Faltungsintegral beantworten können. Servus, Roland


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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-16

Hab mich da wohl zu sehr vom Integral irritieren lassen. Wenn ich $t_2 - t_1$ rechne, komme ich dann auf das Argument von der AKF aber warum dann nicht wen ich $t_1 - t_2$ rechne? Müsste es dann nicht auch umgekehrt funktionieren?


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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-16

Hallo Sinnfrei, die Autokorrelationsfunktion ist gerade: $$\varphi_{ff}(\tau)=\overline{f(t)f(t+\tau)}=\overline{f(t+\tau)f(t)}=\overline{f(t-\tau+\tau)f(t-\tau)}=\overline{f(t)f(t-\tau)}=\varphi_{ff}(-\tau)$$ aber bei der Kreuzkorrelation ist das nicht der Fall. $$\varphi_{fg}(\tau)=\overline{f(t)g(t+\tau)}\neq\varphi_{fg}(-\tau)$$ Servus, Roland


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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-17

Also muss ich einfach nur dafür sorgen, dass auf einer Seite, ein $t$ alleine steht. Demzufolge, kann ich auch einfach sagen, $t = t + t^{\text{''}} - \tau$ setze das in beide funktionen in die AKF ein und komme dann auf $\overline{s(t + t^{\text{''}} - \tau - t^{\text{'}}) \cdot s(t + t^{\text{''}} - \tau - t^{\text{''}} + \tau)}$ und erhalte dann, wenn ich den anderen Weg gehen würde: $$\varphi_{ss}(t^{\text{''}} - \tau - t^{\text{'}})$$ und da die AKF ja gerade ist, kann ich da ruhig ein minus vor dem $$\tau$$ ausklammern und erhalte dann $$\varphi_{ss}(-(\tau - t^{\text{''}} + t^{\text{'}})) = \varphi_{ss}(\tau - t^{\text{''}} + t^{\text{'}})$$ Ich hoffe mal, dass ich das so richtig verstanden habe. Jetzt irritiert mich diese Stelle, die so aussieht wie eine Faltung: $$\varphi_{ff}(\tau) = \overline{f(t) \cdot f(t - \tau)}$$ Das könnte ich jetzt nicht als eine Art Faltungsgleichung aufschreiben oder? Da bei der AKF nach $t$ integriert wird, bleibt ja $\tau$ übrig. Ausser man würde hier substituieren aber wie ist die Frage


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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-17

Hallo Sinnfrei, wieso irritiert Dich die Ähnlichkeit zwischen Faltung und Korrelation? Beachte die Vorzeichen der Argumente im Integral. Servus, Roland PS: Wieso verwendest Du \text{'}? Ohne \text sparst Du Schreibarbeit und es sieht besser aus: $t'$.


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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-17

\quoteon(2021-06-17 11:23 - rlk in Beitrag No. 8) wieso irritiert Dich die Ähnlichkeit zwischen Faltung und Korrelation? Beachte die Vorzeichen der Argumente im Integral. \quoteoff Vielleicht weil ich noch kein Gefühl dafür entwickelt habe. Ich werde es mir aber nochmal genauer anschauen. Es sind meistens Kleinigkeiten, woran es bei mir scheitert aber aus dem Grund bin ich auch froh darüber, dass wir die Möglichkeit haben, in Foren, solche und auch andere Fragen zu stellen. \quoteon(2021-06-17 11:23 - rlk in Beitrag No. 8) PS: Wieso verwendest Du \text{'}? Ohne \text sparst Du Schreibarbeit und es sieht besser aus: $t'$. \quoteoff Bin es irgendwie gewohnt, mit dem Dach Symbol, hochgestellte Zeichen darzustellen.


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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-18

Ich habe da noch folgendes: $$\varphi_{sg}^{E}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} s(t) \cdot g(t + \tau) \cdot t = s(\tau) \times g(\tau)$$ substituiere ich nun $t = -\eta$ dann ergibt das folgendes: $$\varphi_{sg}^{E}(\tau) = - \int_{+\infty}^{-\infty} s(-\eta) \cdot g(-\eta + \tau) \cdot d\eta $$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} s(-\eta) \cdot g(\tau -\eta) \cdot d\eta$$ $$= s(-\tau) * g(\tau)$$ (1) Wie kommt man darauf, dass in der Funktion $$s(-\tau)$$ Das Argument negativ ist? Fortsetzung von oben: $$s(\tau) \times g(\tau)= s(-\tau) * g(\tau)$$ Kommutativgesetz der Faltung angewandt: $$\varphi_{sg}^E(\tau) = g(\tau) * s(-\tau)$$ erhält man: $$\varphi_{sg}^E(\tau) = s(-\tau) \times g(-\tau) = \varphi_{gs}^E(-\tau)$$ (2) Hier verstehe ich nicht warum $$s(-\tau) \times g(-\tau) = s(\tau) \times g(\tau)$$ ist Und wenn ich jetzt schreiben würde: $$\overline{g(t)} = -\int_{+\infty}^{-\infty}\underbrace{\left(\lim\limits_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T}s(-t') \cdot h(t + t') dt \right)}_{\text{Kreuzkorrelation } \varphi_{sh}(t')} dt'$$ (3) Hier ist meine Frage, warum $$s(-t')$$ ein negatives Vorzeichen im Argument hat und es dennoch zur Kreuzkorrelation von $$\varphi_{sh}(t')$$ führt? Die Definition der Kreuzkorrelation ist doch: $$\varphi_{sh}(t') = \int_{-\infty}^{+\infty} s(t) \cdot h(t + t') dt$$ Hierbei muss die Funktion $$s$$ doch ein $t$ im Argument haben oder nicht?


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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-20

Wie würde man durch substituieren, von $$\varphi_{sg}^{E}(-\tau)$$ auf $$\varphi_{gs}^{E}(\tau)$$ kommen?


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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-06-27

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2021-06-18 17:47 - Sinnfrei in Beitrag No. 10) $$\varphi_{sg}^{E}(\tau) = - \int_{+\infty}^{-\infty} s(-\eta) \cdot g(-\eta + \tau) \cdot d\eta $$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} s(-\eta) \cdot g(\tau -\eta) \cdot d\eta$$ $$= s(-\tau) * g(\tau)$$ vergleichst. (1) Wie kommt man darauf, dass in der Funktion $$s(-\tau)$$ Das Argument negativ ist? \quoteoff Indem Du das zweite Integral mit der Faltung der Funktionen $t\mapsto s(-t)$ und $t\mapsto g(t)$ vergleichst. Zu den anderen Fragen werde ich später etwas schreiben. Servus, Roland


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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-28

\quoteon(2021-06-27 01:11 - rlk in Beitrag No. 12) Indem Du das zweite Integral mit der Faltung der Funktionen $t\mapsto s(-t)$ und $t\mapsto g(t)$ vergleichst. \quoteoff Wie soll ich die Vergleichen? Versteh nicht was du geschrieben hast. Was soll denn $$t \mapsto s(-t)$$ und $$t \mapsto g(t)$$ bedeuten?


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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-06-28

Hallo Sinnfrei, zur Problematik der Schreibweise $$f(\tau)*g(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\eta)g(\tau - \eta)\,\dd\eta\qquad(14)$$ hat zippy schon in https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=254603 einiges geschrieben. Wenn Du das dritte Integral in Beitrag 10 mit dem in Gleichung $(14)$ vergleichst, solltest Du sehen, dass sie gleich werden, wenn $f$ die zeitgespiegelte Funktion $t\mapsto s(-t)$ ist. Mit der Schreibweise $t\mapsto f(t)$ ist die Funktion gemeint, die $t$ auf $f(t)$ abbildet, um sie von dem Funktionswert $f(t)$ zu unterscheiden. Ich hoffe, das hilft Dir, Roland


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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-28

Ich frage mich warum du das so mathematisch erklärst. Man könnte es doch ganz einfach anhand eines LTI's, physikalisch erklären. In keiner Literatur zu LTI-Systemen, finde ich so eine Schreibweise. Schreib das doch mal bitte ausführlich auf und nicht mathematisch bitte, also nicht mit wird abgebildet auf und so weiter.


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-29

Ich gebs auf. Eine klare und strukturierte Hilfe werde ich hier, zu dem Thema nicht mehr bekommen. Schade


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