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Kombinatorik & Graphentheorie » Graphentheorie » Ungleichung im Hall-Theorem
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Universität/Hochschule J Ungleichung im Hall-Theorem
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  Themenstart: 2021-06-15

Hallo zusammen Ich beschäftige mich mit dem Hall-theorem in der Graphtheorie und möchte gerne zeigen, dass folgendes gilt: $$|𝑁(𝑆)|<|𝑆| \Rightarrow |𝑆|(𝑛−|𝑁(𝑆)|) \geq n$$ Dabei ist $S \subset X$ und $N(S) \subset Y$. Weiter ist $|X|=|Y|=n$. (Also folgt $|N(S)|< |S| \leq n$). Obwohl es eigentlich nicht schwer sein sollte, scheitere ich schon seit Stunden... Kann mir jemand weiterhelfen?


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-15

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, $|N(S)|< |S|$ ist äquivalent zu $|N(S)|\leq |S|-1$. Wenn du das in die zu zeigende Ungleichung einsetzt, dann folgt die Behauptung durch einfache Umformungen.\(\endgroup\)


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Math_user
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15

Vielen Dank für deine Antwort aber ich komme noch nicht zum Schluss.. Wir haben nun: $$|S|(n-|N(S)|) \geq |S|(1-|S|+n)$$ Aber ich sehe noch nicht das Ende...


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Nuramon
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-15

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Multipliziere aus und teste dann mit Äquivalenzumformungen, ob der Ausdruck $\geq n$ ist.\(\endgroup\)


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Math_user
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15

Nun habe ich ja $|S|-|S|^2+|S|n$. Daraus schliesse ich aber, dass $|S|n-|S|^2\geq 0$ ist aber dies ist zu grob geschätzt... EDIT: Ich kann machen was ich will, ich komme immer an einem Punkt wo ich $|S|\geq n$ brache und dies ja falsch...


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Nuramon
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-15

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Sei $s:=|S|$. Es genügt zu zeigen, dass $ns-s^2 +s \geq n $. Das ist äquivalent zu $ns -s^2 \geq n-s$. Schaffst du den Rest?\(\endgroup\)


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15

Alles klar, habe diesen Schritt nicht gesehen.... Ja nun ist alles tipptopp!


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