Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Topologie » Über Tangentialräume: Lücke im Beweis schließen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Über Tangentialräume: Lücke im Beweis schließen
FibreBundle
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.01.2020
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-15


Hi Leute!

Ich brauche, um die Lücke in einer größeren Argumentationskette (es geht um Äquivalenz von Tangentialraum-Versionen), einen Beweis für folgende Aussage.

Die injektive Abbildung $\Phi: D_pM \rightarrow T_pM$ ist auch surjektiv.

$D_pM$ ist dabei die Menge der Derivationen (Linearität und Produktregel) von Funktionskeime um den Punkt $p\in M$ und $M$ ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit endlicher Dimension. Die Keim-Funktionen $f:M\rightarrow \mathbb{R}$ eines Keims stimmen in einer Umgebung $U \ni p, U \subseteq M$ überein. Der $T_pM$ ist dabei der 'physikalisch' definierte Tangentialraum, welcher eine Vektorraumstruktur trägt. Ein Vektor $v$ in diesem Tangentialraum ist dabei eine Abbildung von der Menge der Karten der Mannigfaltigkeit in den $\mathbb{R}^n$. Das bedeutet $v(U,h) \in \mathbb{R}^n$, wobei $(U,h:U\rightarrow \mathbb{R}^n)$ eine Karte ist. Außerdem müssen die Elemente des Tangentialraumes sich richtig 'transformieren'.

Die Abbildung $\Phi$ ist dann so definiert. Es seien die Koordinatenfunkntions-Keime $h_i:U\rightarrow \mathbb{R}$ gegeben. Dann ist der Vektor $v=\Phi(w)=(w(h_1), w(h_2),...,w(h_n))$. Das Element $w\in D_pM$ ist dabei eine Derivation wie oben beschrieben.

Wie zeige ich da die Surjektivität von $\Phi$?  



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
FibreBundle
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.01.2020
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15


Meine Idee wäre gewesen, dass man mit den Operatoren $\partial_{v_i}\in D_pM$ die kanonischen Einheitsvektoren $e_i\in\mathbb{R}^n$ bastelt.

$\Phi(\partial_{v_1}) = (\partial_{v_1}h_1,\partial_{v_1}h_2, ..., \partial_{v_1}h_n) = (1,0,0,...,0)$
...
$\Phi(\partial_{v_i}) = (\partial_{v_i}h_1,\partial_{v_i}h_2, ..., \partial_{v_i}h_n) = (0,..,1,...,0)$
...
$\Phi(\partial_{v_n}) = (\partial_{v_n}h_1,\partial_{v_n}h_2, ..., \partial_{v_n}h_n) = (0,0,0,...,1)$  

Kurz notiert: $\partial_{i}\vec{h}=e_i$.

Wenn ich nun alle Operatoren des $D_pM$ zur Verfügung habe, dann kann ich mir doch sicherlich alle kanonischen Einheitsvektoren basteln.

Wie kann ich das präzisieren? Dann müsste ich noch linear-kombinieren. Das darf ich, weil
$\Phi(a\partial_i+b\partial_j) = (a\partial_i + b\partial_j)\vec{h} = ae_i+be_j$.  



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
FibreBundle
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.01.2020
Mitteilungen: 72
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21


Problem hat sich erledigt.

Ich habe mir von den 3 Abbildungen, von denen ich bei 2 die Bijektivität nachweisen musste, die schwierigere Abbildung ausgesucht.

Die anderen zwei waren viel leichter zu beweisen, weshalb ich das obige Problem nun nicht mehr wissen muss. Es ergibt sich aus der Verkettung der anderen leichter zu lösenden Bijektionen.

Es bleibt natürlich noch ein interessantes Problem an sich. Setze trotzdem schon mal den Haken.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
FibreBundle hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]