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Strukturen und Algebra » Ringe » Endliche Teilermengen im Integritätsbereich
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Universität/Hochschule Endliche Teilermengen im Integritätsbereich
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-16


Hallo! Ich würde gerne folgende Aufgabe lösen:


Sei $R$ ein Integritätsbereich mit unendlich vielen Elementen und $\forall a\in R$ sei $T(a) =\{b\in R: b\mid a\}$ die Menge seiner Teiler und diese sind für alle $a\neq 0_R$ endlich.
Weiters sei $f\in R[X]$ ein Polynom mit Grad $n>1$ und $m=\max\{r\in \mathbb{N}:2r\leq n\}$

Zeige, dass es paarweise verschiedene Elemente $a_0,...,a_m\in R$ derart gibt, dass $T_i :=T(f(a_i))$ endlich für $ i=0,...,m$

Allerdings bin ich mir nicht sicher, wie genau ich das zeigen kann.

Rein intuitiv hätte ich folgendes gesagt...

Ich weiß, dass wenn $R$ Integritätsbereich ist, jedes Polynom $p\in R[X]\setminus \{0_{R[X]}\}$ höchstens $grad(p)$ Nullstellen in $R$ hat.
Das heißt, es gibt höchstens endlich viele Elemente $z_1,...,z_n$, sodass $f(z_i) = 0_R$ und damit $T(f(z_i))$ unendlich.

Damit finde ich sicher verschiedene Elemente $a_0,...,a_m$ sodass $f(a_i)\neq 0_R$ und $T(f(a_i))$ endlich (laut Angabe)

Aber wäre das richtig, macht es mich stutzig, dass ich genau $\lfloor n \rfloor$ Elemente finden soll. Ich vermute also, da steckt mehr dahinter.

Hat jemand eine Idee?



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