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Logik, Mengen & Beweistechnik » Aussagenlogik » Spielt die materiale Implikation in der Mathematik überhaupt eine Rolle?
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Kein bestimmter Bereich J Spielt die materiale Implikation in der Mathematik überhaupt eine Rolle?
Algebravo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-16


Hallöchen!

Ich habe eine Frage zur Rolle der materialen Implikation in der Mathematik. Damit meine ich die Aussage „A $\Rightarrow$ B“, mit den folgenden Wahrheitswerten:

Wenn A wahr und B wahr, dann ist A $\Rightarrow$ B wahr. (*)
Wenn A wahr und B falsch, dann ist A $\Rightarrow$ B falsch. (**)
Wenn A falsch und B wahr, dann ist A $\Rightarrow$ B wahr. (***)
Wenn A falsch und B falsch, dann ist A $\Rightarrow$ B  wahr. (****)

Ich bin, beim Verfassen eines Skriptes für einen Nachhilfeschüler, auf ein paar Probleme gestoßen, über die ich, als Student, nie so richtig nachgedacht habe:

(1) Der Folgepfeil $\Rightarrow$ hat, wenn er in Beweisen oder beim Umformen von Gleichungen vorkommt, eine größere Bedeutung als die materiale Implikation. In diesen Kontexten bedeutet A $\Rightarrow B$ meinem Verständnis nach eher „Wenn A wahr ist, dann MUSS B notwendigerweise wahr sein.“ (Edit)
Sind die Folgepfeile in Beweisen also zwar materiale Implikationen, aber inklusive dieser zusätzlichen, stärkeren Eigenschaft? (Edit)

(2) Wofür benötigt man in der Mathematik die materiale Implikation? Es ist doch in der Mathematik nun einmal nicht üblich

„ Ist eine reelle Funktion differenzierbar, so ist sie stetig.“
$\Rightarrow$ „Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer Matrix A sind linear unabhängig.“

zu schreiben, obwohl beide Aussagen wahr und damit auch die (materiale) Implikation wahr ist. Wir benötigen, um das so zu schreiben, doch eine logische Verknüpfung zwischen beiden Aussagen, welche die materiale Implikation, dessen Wahrheitswert ausschließlich von den Wahrheitswerten der verknüpften Aussagen abhängt, nicht liefert. (Man kann eben hier nicht sagen, dass B notwendigerweise wahr ist, wenn A wahr ist, weil B keine logische Folgerung aus A ist. (Edit))

(3) Das klassische Beispiel um zu rechtfertigen, dass beispielsweise (***) in der Mathematik tatsächlich vorkommt, ist:

$~~~\ -1 =1  ~~~~~|~(..)^2$
$\Rightarrow ~~~~1=1$

Ergibt ein solches, Beispiel überhaupt Sinn? Und vor allem: Was ist hier „ $\Rightarrow$“? Doch wieder ein Symbol, das auch eine logische Verknüpfung zwischen den Aussagen beschreibt. Wieso beschränkt man sich in der Mathematik nicht auf Implikationen der Art „Wenn A wahr ist, dann MUSS B notwendigerweise wahr sein.“ (Edit)
Implikationen die nicht dieser Idee folgen und keine logische Folgerung beinhalten, betrachten wir doch gar nicht, oder?


-----------------
Ich würde mich sehr freuen, einige von euch begrüßen zu dürfen: www.algebravo.de ^^ Dort gibt es Videos und Aufgaben, die dabei helfen sollen, Mathematik nicht nur anwenden zu können, sondern auch zu verstehen! :) Über Feedback freue ich mich immer!



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-16


2021-06-16 16:50 - Algebravo im Themenstart schreibt:
(1) Der Folgepfeil $\Rightarrow$ hat, wenn er in Beweisen oder beim Umformen von Gleichungen vorkommt, eine größere Bedeutung als die materiale Implikation. In diesen Kontexten bedeutet A $\Rightarrow B$ meinem Verständnis nach eher „B ist dann und nur dann wahr, wenn A wahr ist“.

Was du da in "$\implies$" hineininterpretierst, kann ich nicht nachvollziehen. Eine Aussage wie$$ x=0\implies x\cdot y=0
$$lässt sich ohne weiteres in einem Beweis finden, und in diesem Fall ist der "und nur dann"-Teil sicher fehl am Platz.

--zippy



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Algebravo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-16


Absolut richtig, zippy. Das habe ich nicht richtig formuliert.

Ich habe, zur besseren Les- und Nachvollziehbarkeit des Threads meinen ersten Beitrag entsprechend angepasst.

Vielen Dank für den Hinweis!



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Algebravo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21


Ich habe versucht, einen kleinen Absatz über die Implikation zu schreiben und würde mich sehr freuen, wenn ihr einmal drüber schauen könntet:





Zusätzlich würde ich gerne wissen:

Habe ich es richtig verstanden, dass man im Prinzip die Voraussetzungen (A) immer als wahr voraussetzt, um dann, mittels logischer Folgerungen (keinen Implikationen!, sie teilen sich nur zufällig das Symbol „$\Rightarrow$“) aus A neue (und notwendigerweise wahre!) Aussagen zu folgern. Man hat dann gewonnen, dass man sich sicher sein kann, dass auch die Implikationen wahr sind, da die neuen Aussagen (dadurch, dass sie logische Folgerungen aus A sind) wahr sind. Dies macht man so lange, bis man bei B ist. Dann ist B notwendigerweise wahr und damit ist auch „A $\Rightarrow$ B“ wahr.
So entstehen letztlich Beweise von Aussagen wie „A $\Rightarrow$ B“, oder bin ich da auf dem Holzweg?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Die Implikation zwischen Aussagen ist nur sehr eingeschränkt sinnvoll.

Zum Beispiel kann man damit nicht \( x<3\Rightarrow x<5\) bearbeiten, weil "\( x<3\)" keine Aussage ist - man kann ja nicht sagen, ob das wahr ist.

Der ganze Käse mit Mond und Käse löst sich in Luft auf, wenn man mit Aussageformen arbeitet - dann gibt es nämlich eine (hoffentlich vernünftige) Grundmenge. über der man arbeitet.

Die Aussage "\( \forall x\in \IR: x<3\Rightarrow x<5\) ist wahr, weil die Erfüllungemenge der Aussageform \( x<3\) eine Teilmenge der Erfüllungmenge der Aussageform \( x<5\) ist.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Algebravo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05 10:05


Der Käse mit Mond und Käse löst sich (auch über Aussageformen) nicht in Luft auf, falls man mit einer falschen Aussage startet, oder?
Also unabhängig davon, ob ich mit Aussageformen arbeite oder nicht, können aus falschen Aussagen alle Aussagen (mittels materieller Implikation) gefolgert werden, oder nicht?

Ich wollte auch noch einmal nachfragen, ob jemand etwas zu der im unteren Teil von Beitrag#3 gestellten Frage etwas sagen kann. (evtl. auch ein Literaturhinweis oder Ähnliches.) Das würde mich sehr freuen! ☺️

Grüße,
Algebravo



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-07-08 01:27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2021-06-21 00:01 - Algebravo in Beitrag No. 3 schreibt:
Zusätzlich würde ich gerne wissen:

Habe ich es richtig verstanden, dass man im Prinzip die Voraussetzungen (A) immer als wahr voraussetzt, um dann, mittels logischer Folgerungen (keinen Implikationen!, sie teilen sich nur zufällig das Symbol „$\Rightarrow$“) aus A neue (und notwendigerweise wahre!) Aussagen zu folgern. Man hat dann gewonnen, dass man sich sicher sein kann, dass auch die Implikationen wahr sind, da die neuen Aussagen (dadurch, dass sie logische Folgerungen aus A sind) wahr sind. Dies macht man so lange, bis man bei B ist. Dann ist B notwendigerweise wahr und damit ist auch „A $\Rightarrow$ B“ wahr.
So entstehen letztlich Beweise von Aussagen wie „A $\Rightarrow$ B“, oder bin ich da auf dem Holzweg?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)

Das ist mehr oder weniger die übliche Einführungsregel für Implikationen, die man zum Beispiel so schreiben kann: $$\begin{array}{c}\Gamma, A \vdash B \\\hline \Gamma \vdash A \to B\end{array}$$ Zu lesen in etwa: Wenn man unter der (Zusatz-)Annahme von $A$ $B$ herleiten kann, darf man ohne die Zusatzannahme von $A$ auf $A \to B$ schließen.

\(\endgroup\)


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Algebravo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-08 10:48


Vielen Dank an alle! Eure Antworten und vor allem dieses Skript haben mir sehr geholfen:
home.mathematik.uni-freiburg.de/junker/skripte/Grundlagen-WS1011.pdf#page24

Damit hat sich die Frage erledigt.

Grüße,
Connor



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-07-08 13:14


2021-07-08 10:48 - Algebravo in Beitrag No. 7 schreibt:
Vielen Dank an alle! Eure Antworten und vor allem dieses Skript haben mir sehr geholfen:
home.mathematik.uni-freiburg.de/junker/skripte/Grundlagen-WS1011.pdf#page24

Da steht zwar viel Blödsinn drin, aber ja, die Bemerkung auf S. 28 ("Die zweite (uneigentliche) Verwendungsweise") löst sicher einige der aufgeworfenen Fragen auf.



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Algebravo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-09 11:47


2021-07-08 13:14 - tactac in Beitrag No. 8 schreibt:
Da steht zwar viel Blödsinn drin

Jetzt bin ich neugierig geworden. Was ist dir so spontan aufgefallen?

Grüße,
Connor



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-07-09 14:55

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2021-07-09 11:47 - Algebravo in Beitrag No. 9 schreibt:
Jetzt bin ich neugierig geworden. Was ist dir so spontan aufgefallen?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)

* "Vollständige Induktion, Variante 3": Das ist eine verballhornte Version der "starken" Induktion, die so lautet: Man zeige, dass für beliebige $x$ $E(x)$ gilt, wenn $E(y)$ für alle $y < x$ gilt.
* "Methode des kleinsten Verbrechers": $E(0)$ zu zeigen ist unnötig; die Annahme, dass $n$ die kleinste natürliche Zahl sei, die $E$ nicht erfüllt, ist unnötig. Man zeigt einfach, dass es für jedes Gegenbeispiel ein echt kleineres gibt. Daraus folgt dann schon, dass es kein Gegenbeispiel gibt.
* Ein üblicher Beweis, dass $\sqrt 2$ irrational ist, wird als Beispiel eines "Widerspruchsbeweises a.k.a. indirekten Beweises" angegeben, und es wird bemerkt, dass das Prinzip des Widerspruchsbeweises in schwächeren Logiken nicht zur Verfügung steht. Der Beweis geht aber z.B. in intuitionistischer Logik wie angegeben durch.
* "Exkurs zum Auswahlaxiom":
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\) Hier wie anderswo gibt es Meinungsunterschiede zwischen den Mathematikern, die moglichst freizügige Regeln anwenden, solange kein Widerspruch auftritt (tendenziell die Mehrheit), und jenen, die eher restriktive Regeln bevorzugen, um sicherzustellen, dass keine Widersprüche auftreten werden und die betriebene Mathematik sinnvoll ist (tendenziell eher die Minderheit)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
   Heutzutage wollen Leute, die darauf Wert legen, dass LEM oder AC nicht benutzt wird, dies üblicherweise nicht aufgrund irgendeiner Widerspruchsangst, sondern einfach, weil Beweise ohne LEM einen viel größeren Anwendungsbereich haben (und diese Anwendungsbereiche kommen auch vor, wenn man klassische Mathematik mit LEM und AC macht).
\(\endgroup\)


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