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Mathematik » Lineare Algebra » Bestimme orthogonales Komplement eines Unterraums (unendlichdimensional)
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Universität/Hochschule Bestimme orthogonales Komplement eines Unterraums (unendlichdimensional)
bender0104
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  Themenstart: 2021-06-16

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Seien a,b\el\ \IR mit a\IR. Weiter sei für x\el\ [a,b], U:={f\el\ V:f(x)=0}\subsetequal\ V Unterraum. Nun muss ich das orthogonale Komplement von U bestimmen. Hier ist das orthogonale Komplement die Menge all der Funktionen g aus V, die orthogonal zu jedem f\el\ U sind, also 0= =int(f(x)g(x),x,a,b) erfüllen. Für mich scheint es fast so, als wäre das orthogonale Komplement von U der Nullraum. Mein Ansatz wäre also: z.z.: das orthogonale Komplement X von U ist der Nullraum, also X={0}. \supersetequal\ : Klar \subsetequal\ : Sei g\el\ V, sodass für jedes f\el\ U gilt: 0=. D.h.0=int(f(x)g(x),x,a,b). Wie ich nun folgern kann, dass g die Nullfunktion ist, ist mir ein Rätsel. Meine Idee war es, anzunehmen, dass g nicht die Nullfunktion ist, mir ein "passendes" f\el\ U zu konstruieren und damit einen Widerspruch mit Hilfe von Sätzen aus der Integralrechnung (Analysis 1) herzuleiten. Hat aber leider nicht gekplappt. Hat jemand eine Idee wie man das zeigen kann? LG


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-16

Wenn $g$ nicht die Nullfunktion ist, gibt es einen Punkt $y\ne x$ mit $g(y)\ne0$. Da $g$ stetig ist, gibt es eine Umgebung von $y$, in der $g$ das Vorzeichen von $g(y)$ hat und die $x$ nicht enthält. Mit Hilfe dieser Umgebung kannst du dir jetzt leicht ein passendes $f$ konstruieren. --zippy


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bender0104
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-16

Hi, erstmal vielen Dank für die Antwort. Leider komme ich damit immer noch nicht weiter. Wäre es sinnvoll direkt zu zeigen, dass das orthogonale Komplement der Nullraum ist? LG


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-16

\quoteon(2021-06-16 23:27 - bender0104 in Beitrag No. 2) Wäre es sinnvoll direkt zu zeigen, dass das orthogonale Komplement der Nullraum ist? \quoteoff Du kannst ausnutzen, dass $\overline U=V$ (mit der durch das Innenprodukt definierten Norm) ist.


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