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Mathematik » Numerik & Optimierung » Zeigen der Optimalitätsbedingung 2. Ordnung
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Universität/Hochschule Zeigen der Optimalitätsbedingung 2. Ordnung
Noahhh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-18


Guten Tag
Ich sitz seit ner Weile bei folgender Aufgabe fest:

Es sei f : R^n → R zweimal differenzierbar. Beweisen Sie die folgende notwendige Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung: Ist x∗ ∈ R^n ein Minimierer von f und ist D^2 f stetig in x∗, so gilt:
D^2 f(x∗)(v, v) ≥ 0
für alle v ∈ R^n.

Wir behandeln gerade das Thema Taylorformel also werde ich diese vermutlich zum Lösen brauchen.
Ich freue mich über jede Hilfe



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-19


Moin Noahhh,

für $v = 0$ ist die Ungleichung trivialerweise erfüllt, also kannst du dich auf $v \neq 0$ beschränken.

Die Taylorformel ist für den vorliegenden Fall eines zweimal differenzierbaren $f$ z.B. mit der Lagrangedarstellung des Restglieds
\[f(x^*+h) = f(x^*) + df(x^*)(h) + \frac{1}{2} d^2f(x^*+\theta h)(h,h)\] mit $h \in \mathbb{R}^n$ für ein (i.A. von $h$ abhängiges) $\theta \in [0,1]$. Da $x^*$ ein lokales Minimum von $f$ ist, gibt es ein $\epsilon > 0$, so dass für alle $h \in \mathbb{R}^n$ mit $\|h\| \le \epsilon$ die Beziehung $f(x^*) \le f(x^*+h)$ gilt. Überlege dir (bzw. erinnere dich), was daraus für $df(x^*)$ folgt. Setze dann $h = \epsilon \frac{v}{\|v\|}$, verwende die Taylorformel von oben und letztlich die Stetigkeit von $x \mapsto d^2f(x)$ an der Stelle $x = x^*$.

LG,
semasch



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-19


2021-06-19 01:24 - semasch in Beitrag No. 1 schreibt:
und letztlich die Stetigkeit von $x \mapsto d^2f(x)$ an der Stelle $x = x^*$.

Im Startbeitrag wird $f$ war nur als zweimal differenzierbar, nicht als zweimal stetig differenzierbar vorausgesetzt.



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semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-19


Moin zippy,

2021-06-18 16:51 - Noahhh im Themenstart schreibt:
Ich sitz seit ner Weile bei folgender Aufgabe fest:
Es sei f : R^n → R zweimal differenzierbar. Beweisen Sie die folgende notwendige Optimalitätsbedingung zweiter Ordnung: Ist x∗ ∈ R^n ein Minimierer von f und ist D^2 f stetig in x∗, so gilt:
D^2 f(x∗)(v, v) ≥ 0
für alle v ∈ R^n.

Habs beim ersten Mal auch überlesen, aber die benötigte Voraussetzung, dass $d^2f$ im Punkt $x = x^*$ stetig ist, scheint mir schon gegeben zu sein.🙂

LG,
semasch



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-19


2021-06-19 07:56 - semasch in Beitrag No. 3 schreibt:
Habs beim ersten Mal auch überlesen, aber die benötigte Voraussetzung, dass $d^2f$ im Punkt $x = x^*$ stetig ist, scheint mir schon gegeben zu sein.🙂

Ja, du hast völlig Recht.



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