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Universität/Hochschule Ableitung/Brachistochrone
S3bi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-19


Hallo zusammen,

ich komme an einer Stelle meiner Rechnung nicht weiter.
Ich habe als Funktional:
\[T[y]= \int  \frac{1}{\sqrt{2g}} \sqrt{\frac{1+y´^2}{-y}} dx\] Jetzt wende ich darauf die ELG an und bekomme:
\[\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{2g}} \frac{1}{2} \sqrt{1+y´^2}(-y)^{-3/2}\] Und:
\[\frac{\partial f}{\partial y´} = \frac{1}{2} \left(\frac{1+y´^2}{-y} \right)^{-1/2} \cdot \frac{2y´}{(-y)} = \frac{y´}{\sqrt{\frac{1+y´^2}{-y}}}\frac{1}{-y}= \frac{y´}{\sqrt{1+y´^2}}\frac{1}{\sqrt{-y}}\] Anscheinend soll ich an der Stelle aber statt \((1+y´^2)^{-1/2}\) eigentlich \((1+y´^2)^{-3/2}\) bekommen, aber ich sehe noch nicht wie.

Dazu soll ich dann auf die  Form kommen: \(-2yy`` = 1 + y´^2\). Man müsste wahrscheinlich noch \(\frac{d}{dx}\) anwenden auf den 2. Term und dann umformen oder?

Würde mich über Rückmeldung sehr freuen.

Schöne Grüße
S3bi



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-20


Hallo S3bi,
der Exponent \(-1/2\) ist schon richtig, nur der Faktor \(\dfrac{1}{\sqrt{2g}}\) fehlt, siehe hier die Gleichung (10).

Viele Grüße,
  Stefan



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S3bi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-20


Danke für die Rückmeldung,
dann hatte es mein Tutor falsch aufgeschrieben gehabt.
Ich wollte das mit der ELG machen, da würde dann ja eh ein Vorfaktor rausfallen.
\[\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{2g}} \frac{1}{2} \sqrt{1+y´^2}(-y)^{-3/2}\] Und
\[\frac{\partial f}{\partial y´} = \frac{1}{\sqrt{2g}} \frac{y´}{\sqrt{1+y´^2}}\frac{1}{\sqrt{-y}}\] Dann mit der Quotientenregel:
\[\frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y´}
= \frac{1}{\sqrt{2g}} \left( \frac{y´´ \sqrt{-y(1+y´^2)} - y´ \left( \frac{1}{2} (-y(1+y´^2))^{-1/2} (-y´- y´^3-2yy´y´´) \right)}{-y(1+y´^2)} \right)\] Zusammen in ELG eingesetzt, dann erweitert mit \(\sqrt{(-y(1+y´^2))^{3/2}}\):
\[0= (1+y´^2)y´´+y´^2+y´^4 + 2y y´^2 y´´ - \frac{\sqrt{-y(1+y´^2)}\frac{1}{2}\sqrt{1+y´^2}}{\sqrt{-y}^3} \] aber komme dann noch nicht auf: \(-2yy`` = 1 + y´^2\)

Schöne Grüße
S3bi



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-20


Da sich das Brachistochrone-Problem einer gewissen Berühmtheit erfreut, ist es nicht schwierig, Herleitungen der Euler-Lagrange-Gleichung zu finden. Gib einfach "brachistochrone euler lagrange equation" in eine Suchmaschine ein. Warum nimmst du dir nicht so eine Herleitung (meine erste Fundstelle ist diese hier) und vergleichst sie mit deiner Rechnung?

--zippy


PS  Die zweite Ableitung schreibt man in $\TeX$ weder als $y``$, noch als $y´´$, sondern als $y''$.



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S3bi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-20


Danke für den Hinweis.
Ich habe mir das angetan, weil wir das auf einem Übungszettel hatten und jetzt beginnt die Klausurvorbereitung und irgendwie scheiterte es nur an dem einen Schritt. 🤔



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-20


2021-06-20 11:03 - S3bi in <a href=viewtopic.php topic=254532&post_id=1849410>Beitrag No. 2 schreibt:
Dann mit der Quotientenregel:
\[\frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y´}
= \frac{1}{\sqrt{2g}} \left( \frac{y´´ \sqrt{-y(1+y´^2)} - y´ \left( \frac{1}{2} (-y(1+y´^2))^{-1/2} (-y´- y´^3-2yy´y´´) \right)}{-y(1+y´^2)} \right)\]

Im Zähler weit rechts das \(-y'^3\) wo kommt das her?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-20


2021-06-20 16:26 - StefanVogel in Beitrag No. 5 schreibt:
Im Zähler weit rechts das \(-y'^3\) wo kommt das her?

$\sqrt{1+y'^2}\sqrt{-y}$ liefert die innere Ableitung $2y'y''(-y)+
(1+y'^2)(-y')=-2yy'y''-y'-y'^3$.



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-20


Zippy, ich danke dir! Weiter

2021-06-20 11:03 - S3bi in Beitrag No. 2 schreibt:
Zusammen in ELG eingesetzt, dann erweitert mit \(\sqrt{(-y(1+y´^2))^{3/2}}\):
\[0= \color{black}{-y}(1+y´^2) y´´+y´^2+y´^4 + 2y y´^2 y´´ - \frac{\sqrt{-y(1+y´^2)}\frac{1}{2}\sqrt{1+y´^2}}{\sqrt{-y}^3} \]

da habe ich nicht erweitert sondern multipliziert und erhalte zusätzlich das schwarz eingefügte \(-y\)(oder auch nur \(y\), auf die Vorzeichen und den Rest habe ich noch nicht weiter geachtet).



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-20


Um solche Fehler zu finden, kann eine Dimensionsanalyse helfen: $y$ hat die Dimension einer Länge, die Ableitung die einer reziproken Länge.

In der Summe

2021-06-20 11:03 - S3bi in Beitrag No. 2 schreibt:
\[\color{red}{(1+y´^2)y´´}+y´^2+y´^4 + 2y y´^2 y´´ - \color{red}{\frac{\sqrt{-y(1+y´^2)}\frac{1}{2}\sqrt{1+y´^2}}{\sqrt{-y}^3}} \]

haben alle Summanden bis auf die beiden roten die Dimension 1. Mit dem von dir eingefügten $y$ wird auf der erste rote Summand dimensionslos. Der zweite rote Summand harrt noch seiner Korrektur.



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