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Strukturen und Algebra » Ringe » Einheiten in Faktorringen
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Universität/Hochschule J Einheiten in Faktorringen
Quentin
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Dabei seit: 20.06.2021
Mitteilungen: 18
  Themenstart: 2021-06-20

Hallo, Ich stecke hier ein bisschen fest: Sei $F$ ein Hauptidealring und $R=F/fF$, wobei $f \in F$ gilt, dann gelten die folgenden Äquivalenzen: $\bar{r} \in R^{\times} \Leftrightarrow ggT(r,f)=1 \Leftrightarrow \bar{r}$ ist kein Nullteiler in $R$ vielleicht kennt sich ja jemand hiermit aus und kann mir sagen, wie ich da jetzt am besten rangehe. Danke schon einmal an alle im Vorhinein!


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hippias
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-20

Da Du keine konkrete Frage stellst, ist es nicht ganz leicht Dir zu einen Tip zu geben. Daher tippe ich ins Blaue: Was bedeutet es, dass $\bar{r}$ in $R$ eine Einheit ist? Was heisst das für die Urbilder in $F$? Was hat das mit dem ggT zu tun?


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Quentin
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-20

Also zunächst einmal danke für die Antwort! Ich habe es so verstanden, dass wenn $\bar{r}$ eine Einheit in R ist, dass es dann ein $\bar{s}\in R$ gibt mit: $\bar{r}\bar{s}=\bar{1}$, da jedoch $\bar{r}=r+f$ ist, würde daraus folgen, dass $r$ bereits eine Einheit in $F$ sein muss? Oder verstehe ich hier etwas falsch? Damit wäre für mich auch gezeigt, dass $\bar{r}$ kein Nullteiler sein kann, da ja im Faktorring die Einheiten und ihre entsprechenden Inversen 1 modulo f ergeben, allerdings inwiefern die Rückrichtung der Äquivalenz Sinne ergibt, also, dass auch aus " $\bar{r}$ ist kein Nullteiler in R" folgt, dass $\bar{r}$ eine Einheit ist, verstehe ich bisher nicht... Und wie der ggT da ins Spiel kommt ist mir auch noch etwas schleierhaft, wäre also für jeden Tipp dankbar!


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hippias
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-20

\quoteon(2021-06-20 13:28 - Quentin in Beitrag No. 2) Also zunächst einmal danke für die Antwort! Ich habe es so verstanden, dass wenn $\bar{r}$ eine Einheit in R ist, dass es dann ein $\bar{s}\in R$ gibt mit: $\bar{r}\bar{s}=\bar{1}$, da jedoch $\bar{r}=r+f$ ist, würde daraus folgen, dass $r$ bereits eine Einheit in $F$ sein muss? Oder verstehe ich hier etwas falsch? \quoteoff Wiederhole unbedingt das Thema Faktorringe! $\bar{r},\bar{s},\bar{1}$ sind Mengen. Welche? Die Gleichung $\bar{r}\bar{s}=\bar{1}$ impliziert also eine Mengengleichheit, welche hier auch \"aquivalent durch eine Teilbarkeitsrelation dargestellt werden kann - denn für Hauptideale gilt $\bar{x}=\bar{y}$ genau dann, wenn $x-y$ in $F$ durch $f$ teilbar ist. Wenn Du das sauber f\"ur Deine Situation aufschreibst, steht die Aussage \"uber den ggT praktisch fertig da. \quoteon Damit wäre für mich auch gezeigt, dass $\bar{r}$ kein Nullteiler sein kann, da ja im Faktorring die Einheiten und ihre entsprechenden Inversen 1 modulo f ergeben, allerdings inwiefern die Rückrichtung der Äquivalenz Sinne ergibt, also, dass auch aus " $\bar{r}$ ist kein Nullteiler in R" folgt, dass $\bar{r}$ eine Einheit ist, verstehe ich bisher nicht... Und wie der ggT da ins Spiel kommt ist mir auch noch etwas schleierhaft, wäre also für jeden Tipp dankbar! \quoteoff


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Quentin
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-20

Alles klar, vielen Dank!


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