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Universität/Hochschule J Verkaufszahlen mit AR-Modell schätzen
julian2000P
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  Themenstart: 2021-06-20

Hallo zusammen, ich sitze gerade an einem Beispiel wo ich ein AR(2) Modell für Verkaufszahlen einer Firma schätzen soll. Als relevante Information habe ich die durchschnittlichen Verkaufszahlen gegeben, nämlich 1120 Stück pro Monat. Außerdem habe ich noch die geschätzte Autokovarianzfunktion gegeben: \[ \hat{\gamma}(0) = 100 \;\; \hat{\gamma}(1) = 80 \;\; \hat{\gamma}(2) = 90 \;\; \hat{\gamma}(3) = 70 \;\; \hat{\gamma}(4) = 65\; \; ... \] Mein Modell soll nun die Form $x_t = a_1 x_{t-1} + a_2 x_{t-2} + \epsilon_t$ haben, wobei $\epsilon_t \sim \text{WN}(\sigma^2)$ Wenn ich die Yule-Walker Gleichungen aufstelle, erhalte ich \[ \hat{\gamma}(0) = a_1 \hat{\gamma}(1) + a_2 \hat{\gamma}(2) + \sigma^2 \\ \hat{\gamma}(1) = a_1 \hat{\gamma}(0) + a_2 \hat{\gamma}(1) \\ \hat{\gamma}(2) = a_1 \hat{\gamma}(1) + a_2 \hat{\gamma}(0) \\ \] Dieses System ist leicht lösbar und ich erhalte \[ a_1 = \frac{2}{9}, a_2 = \frac{13}{18}, \sigma^2 = \frac{155}{9} \] Damit erhalte ich das gewünschte AR(2) Modell. Meine Frage ist nun: Stimmt das so? Mir kommt das ganze ein wenig komisch vor weil ich die durchschnittlichen Verkaufszahlen gar nicht verwende. Muss ich die AR Koeffizienten eventuell für das zentrierte Modell schätzen? In der Vorlesung haben wir denke ich immer nur mit zentrierten Prozessen gerechnet, weswegen ich jetzt ein wenig verwirrt bin. Ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte. Grüße


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-20

Huhu Julian, für ein AR(m)-Modell nimmst Du einen (schwach) stationären zugrundeliegenden Prozess $X_t$ an (hier also für die Verkaufszahlen). Dieser hat insbesondere einen konstanten Erwartungswert $e = \mathbb{E}X_1 = \mathbb{E}X_t$. Offenbar ist dann der Prozess $Y_t = X_t - e$ ebenfalls stationär, zentriert und hat die selbe (Auto-)Kovarianz. Deshalb betrachtet man für theoretische Überlegungen wohl praktisch meist nur zentrierte Prozesse. Für konkrete Anwendungen musst Du aber natürlich das "Niveau" $e$ berücksichtigen! lg, AK


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julian2000P
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21

Hallo AnnaKath, vielen Dank für deine Antwort. Ist folgende Argumentation nun richtig? Wenn ich den zentrierten Prozess $\bar{x}_t := x_t - \mu$ mit $\mu := 1120$ betrachte, kann ich für diesen Prozess nun das AR(2) Modell \[ \bar{x}_t = \frac{2}{9}\bar{x}_{t-1} + \frac{13}{18}\bar{x}_{t-2} + \epsilon_t \] schätzen. Wenn ich nun $\bar{x}_t = x_t - \mu$ rücksubstituiere ergibt das umgeformt und gerundet \[ x_t = 62.2 + 0.22 x_{t-1} + 0.72 x_{t-2} + \epsilon_t \] Ist diese Vorgangsweise richtig? Tut mir leid, aber ich habe bei der Sache noch nicht sonderlich viel Intuition, wäre also über ein kurzes Feedback dankbar. Grüße


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AnnaKath
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-21

Huhu Julian, das sieht gut aus! lg, AK


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julian2000P
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22

Hallo AnnaKath, alles klar, dann nochmal vielen Dank für deine Hilfe! Grüße


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