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Strukturen und Algebra » Ringe » nilpotent und Einheit eines Rings
Autor
Universität/Hochschule nilpotent und Einheit eines Rings
Erdbeere99
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Dabei seit: 11.05.2021
Mitteilungen: 49
  Themenstart: 2021-06-21

Ein Element x eines Rings R heißt nilpotent, wenn es ein n Element N gibt mit x^n = 0. 1) Sei nun x Element R. Gezeigt werden soll, dass 1-x eine Einheit des Rings ist. 2) Es soll eine Einheit f Element der Einheit von (Z/45Z [x]) mit deg f>0 gefunden werden. Kann mir jemnd helfen? Ich habe leider gar keine Ahnung.


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Creasy
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Wohnort: Bonn
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-21

Hey, Handelt es sich um einen kommutativen Ring? 1) eine Version der dritte binomische Formel hilft hier weiter. 2) Wenn a nilpozent in Z/45Z ist, dann ist es auch a×x, nutze dann 1) Generell gilt, schreibe deinen ersten eigenen Ideen hier auf, damit die Tipps daran anknüpfen können. Viele Grüße Creasy


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Nuramon
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Mitteilungen: 2989
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-21

Hallo, 1) Denke an die geometrische Reihe. 2) Verwende 1). [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Erdbeere99
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Mitteilungen: 49
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21

Ich habe leider keine Idee, deswegen frage ich ja. 1) mit der dritten binomischen Formel erhält man (1-x)*(1+x) = (1-x^2). Wie hilft mir das jetzt?


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Creasy
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Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 568
Wohnort: Bonn
  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-21

Hallo, Da ich nicht einfach von der dritten binomischen Formel sprach, ist das auch nicht das wonach du suchst. Es scheint aber, dass du diese binomische Formel nicht kennst. Du hast drei Varianten, und es wäre bestimmt toll, wenn du alle drei mal versuchst und aufschreibst was dir dazu einfällt: 1) lies dir den Wiki Artikel zu binomischen Formeln durch und überlege ob du irgendwas davon auf $1=1^n-x^n=..$ anwenden kannst. 2) verfolge nuramons Tipp. Vllt fällt dir das einfacher wenn du über das inverse von 1-x nachdenkst als $\frac{1}{1-x}$ . 3) verwende deine bisher erreichtes und mache eine induktion nach n. Also IA, x^1 =0, dann ist 1-x=1 offensichtlich invertierbar. Nutze dann dein bisher erreichtes. Viel Spaß Creasy


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-21

Von einer Induktion würde ich stark abraten, weder für die Aussage 1) noch für die dahinter stehende geometrische Summenformel. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1737 Abschnitt 7 (geometrische Summe)


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Creasy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-21

Dass man hier ohne vollständige Induktion zum Ziel kommt ist klar, wenn man aber bereits festgestellt hat, dass man statt 1-x ist Einheit auch zeigen kann Dass 1-x² eine Einheit ist, dann darf man eine solche Erkenntnis auch gerne nutzen, um zu sagen, dass dir Aussage dann induktiv über den nilpotenzgrad folgt. Es ist ja nicht so, dass der Tipp war: hier taucht ein n auf, nutze Induktion:) Ich verstehe aber deinen Punkt, von Induktion muss aber im allgemeinen nicht abgeraten werden. Eher davon, Induktion als ersten Ansatz zu verwenden


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