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Analysis » Grenzwerte » Zwei Grenzwerte
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Universität/Hochschule J Zwei Grenzwerte
Stutend
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  Themenstart: 2021-06-21

Liebes Forum, ich habe eine Frage bezüglich der Grenzwertberechnung. 1. Bei der ersten Aufgabe soll ich den GW berechnen (es gilt a>0) von lim x->0 von (a^x-1)/x. Mein Gedanke war es dies mit l´hopital zu machen, dann hätte ich doch als f´(x)/g´(x) = ln (a) * a^x und dann mit lim x->0 = ln(a). Ist das der richtige Weg oder gibt es einen Anderen? 2. Bei der zweiten Aufgabe habe ich leider noch gar keinen Hinweis und auch mit dem Hinweis weiß ich noch nichts anzufangen. lim x-> 0 mit ((1+x)^(1/n) -1)/x Vielen Dank schonmal im Voraus!


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Zur ersten Aufgabe: wenn l'Hospital an der Stelle schon erlaubt ist, dann ist das ok (es handelt sich ja um den Differenzenquotienten der Exponentialfunktion \(f(x)=a^x\) an der Stelle \(x=0\)). Ist die zweite Aufgabe so gedacht: \[\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}\] bzw. \[\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{1/n}-1}{x}\] für ein festes n? Für den Fall ziehe mal die Binomische Reihe in Betracht... EDIT: Nein, auch hier geht es einfacher. Siehe dazu die folgenden Beiträge! Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-21

Huhu, der zweite Grenzwert ist auch einfach der Differentialquotient für \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) an der Stelle \(x=1\). Gruß, Küstenkind


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) @Kuestenkind: \quoteon(2021-06-21 14:45 - Kuestenkind in Beitrag No. 2) der zweite Grenzwert ist auch einfach der Differentialquotient für \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) an der Stelle \(x=1\). \quoteoff Hm, da sehe ich nicht so ganz, wie das zugehen könnte. Die Funktion \(\sqrt[n]{x}\) kann es wegen der \(1+x\) unter der Wurzel nicht sein. Die Funktion \(\sqrt[n]{1+x}\) an der Stelle \(x=1\) aber auch nicht, sonst hätte man im Zähler \(\sqrt[n]{2}\) als Minor stehen. Nachtrag: aber mit \(f(x)=\sqrt[n]{1+x}\) an der Stelle \(x=0\) passt es. 🙂 Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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Sismet
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \) @Diophant Der Differentialquotient von $f(x)=\sqrt[n]{x}$ an $x=1$ sollte schon passen: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(1+x)-f(1)}{1+x-1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}$ Grüße Sismet\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-21

Hm - mag sein, dass der Ferienmodus schon voll zugeschlagen hat, aber es ist \(f'(x_0)=\lim_\limits{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) Der Grenzwert ist \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}\) bzw. mit \(x=h\) geht er über in \(\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+h}-1}{h}\). Für \(x_0=1\) und \(f(x)=\sqrt[n]{x}\) steht dort also \(\lim\limits_{h\to 0}\frac{\sqrt[n]{1+h}-\sqrt[n]{1}}{h}\) - und das ist der gesuchte Grenzwert. Gruß, Küstenkind [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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Diophant
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-21

Hallo zusammen, \quoteon(2021-06-21 15:08 - Kuestenkind in Beitrag No. 5) Hm - mag sein, dass der Ferienmodus schon voll zugeschlagen hat, \quoteoff Nein, alles klar. Die gute alte 'h-Methode'. Du hast mir also erfolgreich ein x für ein h vorgemacht. 😉 War also Bodennebel von meiner Seite aus, sorry. Gruß, Diophant [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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Sismet
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \) @Diophant: Der Differentialquotient ist gegeben durch: $$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ Schreibe jetzt $x=x_0+h$ und der Differentialquotient transformiert sich zu $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ Grüße Sismet\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-21

\quoteon(2021-06-21 15:10 - Diophant in Beitrag No. 6) Du hast mir also erfolgreich ein x für ein h vorgemacht. 😉 \quoteoff So etwas können Lehrer immer gut. :) \quoteon(2021-06-21 14:50 - Diophant in Beitrag No. 3) Nachtrag: aber mit \(f(x)=\sqrt[n]{1+x}\) an der Stelle \(x=0\) passt es. 🙂 \quoteoff Das ist "meine" Funktion einfach eine Einheit nach links verschoben - und die betrachtete Stelle ebenso. Kein Wunder, dass dieses dann auch passt. Dir einen guten Start in die neue Woche! Gruß, Küstenkind


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Stutend
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21

Vielen lieben Dank für eure zahlreichen und schnellen Antworten, dass hat mir sehr weitergeholfen :) Beste Grüße und bis demnächst!


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Stutend hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Stutend hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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