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Lineare Algebra » Eigenwerte » Minimalpolynom
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Universität/Hochschule J Minimalpolynom
Max_Br
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  Themenstart: 2021-06-21

Hallo, Ich hänge bei einer Aufgabe fest und komme nicht wirklich weiter. Es soll die Menge F aller Polynome aus \IZ_3 [x] bestimmt werden, die das Minimalpolynom einer Matrix aus GL(2,\IZ_3) sind. Dabei ist GL(2,\IZ_3) die multiplikative Gruppe der invertierbaren Matrizen aus \IZ_3 ^(2\cross\ 2) Falls man mir dabei helfen kann, denke ich, dass mir das auch bei dem Rest der Aufgabe helfen würde. Danke schonmal dafür.


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Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-21

Hey Max_Br, welchen Grad können diese Polynome maximal haben und welchen Grad müssen sie mindestens haben?


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ochen
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-21

Hallo, es gibt ja nicht einmal all zu viele Matrizen in $GL(2,\mathbb Z_3)$. Jetzt kannst du dich sogar auf die beschränken, deren erste Spalte $(1,0)^t$ oder $(2,0)^t$ ist. Welche Matrizen hast du dann? Nun gib deren Minimalpolynome an. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Max_Br
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22

@Kampfnudel davon steht nichts da. Es sollen Minimalpolynome am Ende sein. Sind diese nicht immer vom Grad 1? Da kann ich mich auch täuschen.


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Max_Br
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22

@Ochen . Das hat schonmal geholfen. Warum kann ich mich jetzt nur auf die Matrizen konzentrieren deren 1. Spalte (1,0)^t oder (2,0)^t ist. Mit dem oder ist denke ich auch gemeint, dass ich mich entweder auf das Eine oder das Andere konzentriere. Warum ist das so? Ich hatte jetzt alle invertierbaren Matrizen in Z_3 mir vorgenommen.


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Kampfpudel
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-22

\quoteon(2021-06-22 12:12 - Max_Br in Beitrag No. 3) @Kampfnudel davon steht nichts da. Es sollen Minimalpolynome am Ende sein. Sind diese nicht immer vom Grad 1? Da kann ich mich auch täuschen. \quoteoff Das soll ja auch nicht in der Aufgabe stehen, sondern du sollst zunächst einmal erkennen, wie groß der Grad der Polynome maximal sein kann


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Max_Br
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22

Ich habe jetzt zwei charak. Polynome heraus: (1+2x)^2 und (1+2x)(2+2x) Und als F für die Menge der Minimalpolynome: {(1+2x);(1+2x)^2;(1+2x)(2+2x)} Ich hoffe, dass das stimmt. Falls ja hänge ich doch noch bei dem zweiten Teil dieser Aufgabe. Ich soll zu jedem Polynom f\el\ F eine Matrix M \el\ GL(2,\IZ_3) angeben, das gilt \mue_M = f Jetzt verstehe ich die Forderung nicht. Meine f sind doch meine Minimalpolynome. Dazu die Matrizen, sind doch dann die Matrizen die ich zuvor schon verwendet habe um die Minimalpolynome zu erhalten. Also müsste ich nur nochmal aufschreiben welches Minimalpolynom zu welcher Matrix gehört. Soweit mein Gedankengang. Ich glaube aber nicht, dass das so gemeint ist. Kann mir da jmd helfen?


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ochen
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-22

Hallo, bei mir sind Minimalpolynome immer normiert. Also der führende Koeffizient ist bei mir immer 1. F scheint mir zu wenig Elemente zu haben. Kannst du mal bitte alle Matrizen aufschreiben, die du untersucht hast? Das müssten 12 Stück sein, wenn der Eintrag $a_{2,1}=0$ ist. Sie haben aber nicht alle unterschiedliche Minimalpolynome.


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Max_Br
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22

(1,0;0,1) (1,0;0,2) (1,1;0,1) (1,1;0,2) (1,2;0,1) (1,2;0,2) Da ist dann vermutlich der Fehler. Ich habe vorhin verstanden ich sollte nur (1,0)^t oder (2,0)^t in der ersten Spalte verwenden und nicht Beide. Ich denke, dass ich dann auch schnell auf die Restlichen komme. Ich hänge dann aber noch immer bei meinem zweiten Aufgaben Teil. Oder habe ich den doch richtig verstanden und muss lediglich zum Schluss nur noch alle Matrizen den passenden Minimalpolynomen zuordnen. Im Vorab schonmal danke.


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Max_Br
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Habe noch (2+2x) ; (2+2x)^2 ; (2+2x)(1+2x) Ich verstehe aber noch immer nicht wie es mit dem zweiten Teil funktioniert.


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ochen
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-24

Beginne doch mal mit den Matrizen und ordne ihnen die Minimalpolynome zu: z.B. \[ \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\longrightarrow p(x)=x-1=x+2 \] und \[ \begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}\longrightarrow p(x)=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2=x^2+2. \]


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