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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » sehr einfaches Matrixexponential direkt berechnen
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Universität/Hochschule J sehr einfaches Matrixexponential direkt berechnen
hari01071983
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  Themenstart: 2021-06-21

Hallo, folgende einfach Matrix ist gegeben: $ A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ Das Matrixexponential ist folgendermaßen definiert: $ \displaystyle\\ \exp[A] := \sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{l!} A^l \\ $ Schreibe ich die ersten Glieder auf kommt folgendes raus: $ \displaystyle \exp[A] = \frac{1}{0!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^0 + \frac{1}{1!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^1 + \frac{1}{2!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^2 + \frac{1}{3!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^3 + \frac{1}{4!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^4 + \dots \\ \exp[A] = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \dots \\ $ Zähle ich die Glieder zusammen komme ich auf folgendes: $ \exp[A] = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} $ Wo habe ich hier einen Fehler gemacht? Laut WolframAlpha oder auch Octave kommt folgendes heraus: \[\begin{pmatrix} 1 & e\\ 1 & 1\end{pmatrix} \] Danke und LG Hari


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-21

Hallo, du hast den Fehler bei der Eingabe in WolframAlpha bzw. Octave gemacht - dort wurde einfach komponentenweise die Exponentialfunktion angewandt.


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nzimme10
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-21

\quoteon(2021-06-21 15:25 - hari01071983 im Themenstart) Hallo, folgende einfach Matrix ist gegeben: $ A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ Das Matrixexponential ist folgendermaßen definiert: $ \displaystyle\\ \exp[A] := \sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{l!} A^l \\ $ Schreibe ich die ersten Glieder auf kommt folgendes raus: $ \displaystyle \exp[A] = \frac{1}{0!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^0 + \frac{1}{1!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^1 + \frac{1}{2!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^2 + \frac{1}{3!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^3 + \frac{1}{4!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^4 + \dots \\ \exp[A] = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \dots \\ $ Zähle ich die Glieder zusammen komme ich auf folgendes: $ \exp[A] = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix} $ Wo habe ich hier einen Fehler gemacht? Laut WolframAlpha oder auch Octave kommt folgendes heraus: \[\begin{pmatrix} 1 & e\\ 1 & 1\end{pmatrix} \] Danke und LG Hari \quoteoff Du hast alles richtig gemacht. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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ligning
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-21

Illustration der komponentenweisen und Matrix-Exponentialfunktionen: \sourceon matlab >> A=[0 1; 0 0] A = 0 1 0 0 >> exp(A) ans = 1.0000 2.7183 1.0000 1.0000 >> expm(A) ans = 1 1 0 1 \sourceoff


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hari01071983
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21

Danke allen für die zahlreichen Antworten. Um auch noch Input zu geben, der korrekte WolframAlpha Befehl lautet: matrix exponential({{0,1},{0,0}})


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endy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-21

Hallo. Klick mich (matrix element-wise exponentiation) Wolfram Alpha macht dich also auf deinen Fehler aufmerksam. Gruss endy


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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-21

\quoteon(2021-06-21 21:02 - endy in Beitrag No. 5) Wolfram Alpha macht dich also auf deinen Fehler aufmerksam. \quoteoff Nur für $e^X$, nicht aber für $\exp(X)$.


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endy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-21

@ Nr.6: Verstehe ich nicht.Bitte einen Link geben. Gruss endy


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Triceratops
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-21

Abstraktion der Rechnung: Allgemein für $A^2=0$, dass $\exp(A)=1+A$.


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-21

\quoteon(2021-06-21 21:16 - endy in Beitrag No. 7) Verstehe ich nicht. \quoteoff Bei e^{{0,1},{0,0}} kommt der Hinweis matrix element-wise exponentiation, bei dem äquivalenten exp({{0,1},{0,0}}) aber nicht.


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Nuramon
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-21

\quoteon(2021-06-21 21:16 - endy in Beitrag No. 7) @ Nr.6: Verstehe ich nicht.Bitte einen Link geben. Gruss endy \quoteoff Wenn man exp(A) statt e^A schreibt, fehlt der Hinweis, dass komponentenweise gerechnet wurde: hier. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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hari01071983
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22

\quoteon(2021-06-21 21:05 - zippy in Beitrag No. 6) Nur für $e^X$, nicht aber für $\exp(X)$. \quoteoff Genau auf diesen Fehler bin ich aufgesessen 😒 (hatte leider vergessen e^ zu schreiben, sonst wäre es mir wahrscheinlich selbst aufgefallen, und es wäre gar nicht zu diesem Thread hier im Forum gekommen) Danke nochmal an alle.


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