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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » sehr einfaches Matrixexponential direkt berechnen
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Universität/Hochschule J sehr einfaches Matrixexponential direkt berechnen
hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-21


Hallo,

folgende einfach Matrix ist gegeben:
<math> A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Das Matrixexponential ist folgendermaßen definiert:
<math> \displaystyle\\
\exp[A] := \sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{l!} A^l \\
</math>

Schreibe ich die ersten Glieder auf kommt folgendes raus:
<math> \displaystyle \exp[A] =  \frac{1}{0!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^0 +  \frac{1}{1!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^1 +  \frac{1}{2!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^2 +  \frac{1}{3!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^3 +  \frac{1}{4!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^4 +  \dots \\
\exp[A] = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \dots \\
</math>
Zähle ich die Glieder zusammen komme ich auf folgendes:
<math>
\exp[A] = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}
</math>

Wo habe ich hier einen Fehler gemacht?

Laut WolframAlpha oder auch Octave kommt folgendes heraus:
\[\begin{pmatrix} 1 & e\\ 1 & 1\end{pmatrix}
\]
Danke und LG Hari




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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-21


Hallo,

du hast den Fehler bei der Eingabe in WolframAlpha bzw. Octave gemacht - dort wurde einfach komponentenweise die Exponentialfunktion angewandt.



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-21


2021-06-21 15:25 - hari01071983 im Themenstart schreibt:
Hallo,

folgende einfach Matrix ist gegeben:
<math> A=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Das Matrixexponential ist folgendermaßen definiert:
<math> \displaystyle\\
\exp[A] := \sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{l!} A^l \\
</math>

Schreibe ich die ersten Glieder auf kommt folgendes raus:
<math> \displaystyle \exp[A] =  \frac{1}{0!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^0 +  \frac{1}{1!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^1 +  \frac{1}{2!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^2 +  \frac{1}{3!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^3 +  \frac{1}{4!}\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} ^4 +  \dots \\
\exp[A] = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \dots \\
</math>
Zähle ich die Glieder zusammen komme ich auf folgendes:
<math>
\exp[A] = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}
</math>

Wo habe ich hier einen Fehler gemacht?

Laut WolframAlpha oder auch Octave kommt folgendes heraus:
\[\begin{pmatrix} 1 & e\\ 1 & 1\end{pmatrix}
\]
Danke und LG Hari


Du hast alles richtig gemacht.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-21


Illustration der komponentenweisen und Matrix-Exponentialfunktionen:
matlab
>> A=[0 1; 0 0]
A =
 
   0   1
   0   0
 
>> exp(A)
ans =
 
   1.0000   2.7183
   1.0000   1.0000
 
>> expm(A)
ans =
 
   1   1
   0   1



-----------------
⊗ ⊗ ⊗



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hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21


Danke allen für die zahlreichen Antworten.

Um auch noch Input zu geben, der korrekte WolframAlpha Befehl lautet:
matrix exponential({{0,1},{0,0}})



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-21


Hallo.

Klick mich

(matrix element-wise exponentiation)

Wolfram Alpha macht dich also auf deinen Fehler aufmerksam.

Gruss endy



-----------------
Dean Koontz : Zwielicht

Unzählige verschlungene Nachtpfade zweigen vom Zwielicht ab.
Etwas bewegt sich inmitten der Nacht,das nicht gut und nicht richtig ist.

The Book of Counted Sorrows.




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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-21


2021-06-21 21:02 - endy in Beitrag No. 5 schreibt:
Wolfram Alpha macht dich also auf deinen Fehler aufmerksam.

Nur für $e^X$, nicht aber für $\exp(X)$.



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endy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-21


@ Nr.6:

Verstehe ich nicht.Bitte einen Link geben.

Gruss endy



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-21


Abstraktion der Rechnung: Allgemein für $A^2=0$, dass $\exp(A)=1+A$.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-21


2021-06-21 21:16 - endy in Beitrag No. 7 schreibt:
Verstehe ich nicht.

Bei e^{{0,1},{0,0}} kommt der Hinweis matrix element-wise exponentiation, bei dem äquivalenten exp({{0,1},{0,0}}) aber nicht.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-21


2021-06-21 21:16 - endy in Beitrag No. 7 schreibt:
@ Nr.6:

Verstehe ich nicht.Bitte einen Link geben.

Gruss endy

Wenn man exp(A) statt e^A schreibt, fehlt der Hinweis, dass komponentenweise gerechnet wurde: hier.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22


2021-06-21 21:05 - zippy in Beitrag No. 6 schreibt:
Nur für $e^X$, nicht aber für $\exp(X)$.

Genau auf diesen Fehler bin ich aufgesessen 😒 (hatte leider vergessen e^ zu schreiben, sonst wäre es mir wahrscheinlich selbst aufgefallen, und es wäre gar nicht zu diesem Thread hier im Forum gekommen)

Danke nochmal an alle.



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