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Universität/Hochschule Zeigen, dass die Lösungstripel bijektiv und stetig differenzierbar von Koeffiziententripeln abhängt
anni_los
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  Themenstart: 2021-06-21

Hallo, ich sitze mittlerweile bereits eine Weile an einer Aufgabe und komme einfach nicht voran. Die kubische Gleichung t^3-b_1 t^2 + b_2 t - b_3 = 0 habe drei verschiedene reelle Lösungen a1, a2, a3. Zeige: Die Lösungstripel (x1, x2, x3) aus einer Umgebung von (a1, a2, a3) hängen bijektiv und stetig differenzierbar von den Koeffiziententripeln (y1, y2, y3) aus einer Umgebung von (b1, b2, b3) ab Ich verstehe einfach gar nicht, wie ich vorgehen muss. Vielen Dank schon mal im Vorraus für jede Hilfe :) Liebe Grüße Annika


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-21

Hallo, das klingt ja irgendwie nach einer impliziten Funktion $g$, die die Koeffizienten auf die Nullstellen abbildet. Beachte vielleicht, dass die Nullstellen des Polynoms keine Nullstellen der Ableitung sind, da sie paarweise verschieden sind.


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anni_los
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21

Hallo ochen, könntest du vielleicht etwas genauer beschreiben, wie du das meinst. Ich verstehe gerade noch nicht so ganz daraus, wie ich vorgehen muss. Meinst du vielleicht etwas in die Richtung? \(t^3-b_1t^2+b_2t-b_3=0=(t-a_1)(t-a_2)(t-a_3)\) Gruß Annika


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ochen
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-21

An welcher Stelle seid ihr denn gerade in der Vorlesung? In welcher Vorlesung überhaupt? Es ginge zum Beispiel mit dem Satz über die implizite Funktion oder den Satz von der Umkehrabbildung. https://de.m.wikipedia.org/wiki/Satz_von_der_impliziten_Funktion


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anni_los
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21

Wir hatten gerade den Umkehrsatz in der Vorlesung und direkt im nächsten Kapitel, aber damit noch nicht in der Vorlesung besprochen, wäre der Satz über implizite Funktionen. Daher weiß ich auch nicht, ob wir diesen schon benutzen dürfen. Wie ich mit dem Umkehrsatz, falls du den als zweite Möglichkeit meintest, vorgehen kann um die Aussage zu zeigen erschließt sich mir momentan gar nicht. Hast du da vielleicht noch einen Tipp, wie ich am besten vorgehen soll?


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-21

\quoteon(2021-06-21 21:48 - anni_los in Beitrag No. 4) Wir hatten gerade den Umkehrsatz in der Vorlesung und direkt im nächsten Kapitel, aber damit noch nicht in der Vorlesung besprochen, wäre der Satz über implizite Funktionen. Daher weiß ich auch nicht, ob wir diesen schon benutzen dürfen. Wie ich mit dem Umkehrsatz, falls du den als zweite Möglichkeit meintest, vorgehen kann um die Aussage zu zeigen erschließt sich mir momentan gar nicht. Hast du da vielleicht noch einen Tipp, wie ich am besten vorgehen soll? \quoteoff Diese Aufgabe wirkt eher nach einer Kombination der beiden Sätze. Dass überhaupt durch die Gleichung eine Funktion definiert wird (zumindest lokal), die stetig differenzierbar ist, liefert der Satz über implizite Funktionen. Die Bijektivität folgt dann mit dem Umkehrsatz. LG Nico


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anni_los
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22

Hallo ich bins nochmal. Ich habe heute den Tag über probiert einen sinnvollen Weg zu finden, den Satz über implizite Funktionen anzuwenden. Also ich habe den Satz theoretisch verstanden (denke und hoffe ich zumindest ;) ), aber sobald es dann konkret darum geht den Satz auf die gegebene Gleichung anzuwenden, da scheiterts bei mir. Über noch einen Tipp würde ich mich echt freuen, ich bin hier schon etwas am verzweifeln :/


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-22

Von der Funktion$$ \phi(y_1,y_2,y_3,t_1,t_2,t_3)=\begin{pmatrix} t_1^3-y_1\,t_1^2+y_2\,t_1-y_3\\ t_2^3-y_1\,t_2^2+y_2\,t_2-y_3\\ t_3^3-y_1\,t_3^2+y_2\,t_3-y_3 \end{pmatrix}$$weißt du: 1. $\phi(b_1,b_2,b_3,a_1,a_2,a_3)=0$. 2. ${\partial\phi\over\partial(t_1,t_2,t_3)}(b_1,b_2,b_3,a_1,a_2,a_3) = \operatorname{diag}\bigl[(a_1-a_2)(a_1-a_3),(a_2-a_1)(a_2-a_3), (a_3-a_1)(a_3-a_2)\bigr]$ ist regulär. Der Satz über implizite Funktionen sagt dann etwas zur Existenz und zur Differenzierbarkeit von Funktionen $x_i$ mit $x_i(b_1,b_2,b_3)=a_i$ und$$ \phi\bigl(y_1,y_2,y_3,x_1(y_1,y_2,y_3),x_2(y_1,y_2,y_3), x_3(y_1,y_2,y_3)\bigr)=0$$für alle $(y_1,y_2,y_3)$ aus einer geeigneten Umgebung von $(b_1,b_2,b_3)$.


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anni_los
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Zunächst mal Danke für die ganzen Anregungen und Tipps. Allerdings bin ich dabei noch etwas verwirrt. Ich habe eine ähnliche Übungsaufgabe, aber mit einer quadratischen Gleichung gefunden und mal probiert das so in etwa hier rüber zu übertragen. t^3-b_1 t^2+b_2 t-b_3=0 Die Lösungen dieser Gleichung sind die Nullstellen. Damit folgt: t^3-b_1 t^2+b_2 t-b_3=0=(t-a_1)(t-a_2)(t-a_3) Durch ausmultiplizieren erhalte ich (t-a_1)(t-a_2)(t-a_3)=t^3 -(a_1 +a_2 +a_3)t^2+(a_1 a_2 +a_2 a_3 +a_1 a_3)t-(a_1 a_2 a_3) Damit erhält man: p=a_1 +a_2 +a_3 , q=a_1 a_2 +a_2 a_3 +a_1 a_3 , r=a_1 a_2 a_3 Wir betrachten nun die Fuktion f: \IR^3->\IR^3: (x_1 ,x_2 ,x_3)->(x_1+x_2+x_3;x_1 x_2+x_2 x_3+x_1 x_3;x_1 x_2 x_3)=(y_1;y_2;y_3) Die stetig differenzierbare Abhängigkeit des Lösungstripels vom Koeffiziententripel ist nun gleichbedeutend mit der Umkehrbarkeit der Funktion f. Wir betrachten nun also die Jacobimatrix der Funktion f: D_f (x)=(1,1,1;x_2+x_3, x_1+x_3,x_1+x_2;x_2 x_3,x_1 x_3, x_1 x_2) \det(D_f (x))=-x_3 (x_1)^2+x_1 x_2 x_3+x (x_3)^2 -x_2 (x_3)^2=0, für x_1=x_2 oder x_3=0 Damit ist das Lösungstripel also dann stetig differenzierbar abhängig vom Lösungstripel, wenn x_1!=x_2 und x_3!=0 Macht das so zumindest im Ansatz Sinn oder ist das komplett verkehrt?


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 15:29 - anni_los in Beitrag No. 8) Macht das so zumindest im Ansatz Sinn oder ist das komplett verkehrt? \quoteoff Dieser Ansatz funktioniert prinzipiell auch. Dadurch, dass du statt des Satzes über implizite Funktionen den zur lokalen Invertierbarkeit benutzt, musst du etwas mehr Arbeit hineinstecken (nämlich die $y_i$ durch die $x_i$ ausdrücken), erhältst aber das gleiche Ergebnis. Im Detail gibt es aber ein paar Probleme: 1. Du schreibst mal $b_1$, $b_2$, $b_3$ und mal $p$, $q$, $r$. 2. $f$ ist nicht injektiv (da der Wert von $f$ unverändert bleibt, wenn man die $x_i$ permutiert) und kann daher nicht bijektiv sein. Globale Bijektivität ist aber auch gar nicht verlangt. 3. Deine Bedingung für die Regularität der Jacobi-Matrix kann nicht richtig sein. (Das sagt einem wieder das Permutations-Argument aus 2.)


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anni_los
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Hallo Zippy, Mit \(p,q,r\) bin ich durcheinander gekommen, weil die in der anderen Beispielaufgabe so genannt waren. Ich meine dort natürlich \(b_1,b_2,b_3\). Ich muss ehrlich gestehen, dass ich momentan noch nicht so ganz verstehe, was du jetzt genau meinst, was die Probleme 2 und 3 sind und wie ich die behebe.


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zippy
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 18:57 - anni_los in Beitrag No. 10) Ich muss ehrlich gestehen, dass ich momentan noch nicht so ganz verstehe, was du jetzt genau meinst, was die Probleme 2 und 3 sind und wie ich die behebe. \quoteoff Zu 2. * Problem: Wegen $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_2,x_1,x_3)$ kann $f$ nicht injektiv sein. * Lösung: Rede nicht von der globalen Bijektivität von $f$. Zu 3. * Problem: Wegen $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1,x_3,x_2)$ muss auch $\det D_f(x_1,x_2,x_3)=0$ gegen die Vertauschung von $x_2$ und $x_3$ invariant sein. * Lösung: Rechne nochmal sorgfältiger $\det D_f(x_1,x_2,x_3)=0$ aus.


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Ich habe jetzt die Determinante noch einmal berechnet und kam auf folgendes: \(\det(D_f(x_1,x_2,x_3))=x_1^2x_2+x_2^2x_3-x_3^2x_2-x_1^2x_3=0\) \(\Longleftrightarrow x_1^2x_2+x_2^2x_3=x_1^2x_3+x_3^2x_2\) Damit folgt dann \(\det(D_f(x_1,x_2,x_3))\neq 0\) für \(x_2\neq x_3\) Somit ist \(\det(D_f(x_1,x_2,x_3))\) ja auch invariant gegen die Vertauschung von \(x_2\) und \(x_3\). Ist damit jetzt Problem 3 gelöst oder habe ich erneut was übersehen?🤔


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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 19:49 - anni_los in Beitrag No. 12) Ist damit jetzt Problem 3 gelöst oder habe ich erneut was übersehen?🤔 \quoteoff $x_2\ne x_3$ kann noch nicht das vollständige Ergebnis sein, denn man kann das Argument ja mit der Vertauschung von $x_1$ und $x_2$ wiederholen.


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Hm also habe ich wieder ein Fehler bei der Berechnung der Determinante gemacht?


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\quoteon(2021-06-23 20:01 - anni_los in Beitrag No. 14) Hm also habe ich wieder ein Fehler bei der Berechnung der Determinante gemacht? \quoteoff Das weiß ich nicht. Aber du hast noch keine richtige Antwort auf die Frage "Wann ist die Determinante $\ne0$?" aufgeschrieben. Dass diese Antwort "Wenn die $x_i$ paarweise verschieden sind." lauten müsste, ist wirklich nicht schwierig zu sehen: $$\begin{align*} &\left|\begin{matrix} 1&1&1\\x_2+x_3&x_1+x_3&x_1+x_2\\x_2x_3&x_1x_3&x_1x_2 \end{matrix}\right| = \\[1.5ex] &\left|\begin{matrix} 1&0&0\\x_2+x_3&x_1-x_2&x_1-x_3\\x_2x_3&(x_1-x_2)x_3&(x_1-x_3)x_2 \end{matrix}\right| = \\[1.5ex] &(x_1-x_2)(x_1-x_3)\left|\begin{matrix} 1&1\\x_3&x_2 \end{matrix}\right| = \\[1.5ex] &(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3) \end{align*}$$


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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-24

Ah ich habe jetzt die Umformung der Matrix verstanden. Da wäre ich selber so nicht drauf gekommen, aber jetzt ists klar, Danke. Ist dann mit der Aussage, dass die \(x_i\) paarweise unterschiedlich sein müssen die Aufgabe beantwortet?


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