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Universität/Hochschule J Summe von exponentialverteilten Variablen
Ferdan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-21


Hallo,

wenn $X_1, X_2, ...$ eine Folge unabhängiger und identisch (Eben Exp($\lambda$)) verteilter Zufallsvariablen sind, und $Y_n = \sum_{i=1}^nX_i$ für n $\geq 1$ möchte ich nun die Verteilung von $N := \max\{k \geq 1 | Y_k \leq 1\}$ bestimmen.

Ich stehe leider etwas auf dem Schlauch.

Mein Ansatz bisher:

Ich möchte versuchen die Elementarwahrscheinlichkeiten zu bestimmen.
Wir betrachten $\mathbb{P}(N = k) = \mathbb{P}(\max\{k \geq 1 | Y_k \leq 1\} = k)$

Wenn $N = k$ muss folgendes für Y gelten:
$Y_k = \sum_{i=1}^k X_i \leq 1$
$Y_{k+1} = \sum_{i=1}^{k+1} X_i > 1$

Bei den Summen handelt es sich ja um eine Faltung und ich weiß, dass bei unabhängigen Exponentialverteilten Zufallsvariablen die Gammaverteilung rauskommt, also kann man dies auch sehen als:

$\Gamma(k, \lambda) \leq 1$
$\Gamma(k+1, \lambda) > 1$

Dies waren bisher meine Überlegungen, so ganz verstehe ich aber gerade nicht, was jetzt mein erster richtiger Schritt sein muss. Kann mir vielleicht jemand einen kleinen Denkanstoß geben?

Danke schon mal im Voraus!

Mfg

Edit: Könnte es vielleicht der Schnitt von den beiden Ereignissen sein?



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semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-22


Moin Ferdan,

$N$ ist, so wie es im Startbeitrag definiert ist, nicht $P$-fs korrekt festgelegt, da $P(Y_1 > 1) > 0$ gilt. Man muss also (unter Beachtung von $Y_0 = 0$ und $0 \in \mathbb{N}$) so definieren:
\[N := \max\{k \in \mathbb{N}: Y_k \le 1\}.\] Betrachte nun $k \ge 1$ und beachte, dass mit $A_k := \{(y,x) \in \mathbb{R}^2: y \le 1, x > 1-y\}$ die Beziehung
\[[N = k] = [Y_k \le 1, X_{k+1} > 1-Y_k] = [(Y_k,X_{k+1}) \in A_k]\] gilt. Außerdem sind $Y_k \sim \text{Erl}(\lambda,k)$ und $X_{k+1} \sim \text{Erl}(\lambda,1) = \text{Exp}(\lambda)$ unabhängig Erlang-verteilt und insbesondere ist $P(Y_k,X_{k+1})^{-1} = PY_k^{-1} \otimes PX_{k+1}^{-1}$. Damit hast du mit dem Satz von Fubini für Mengen
\[P(N = k) = P(Y_k,X_{k+1})^{-1}(A_k) = \int PX_{k+1}^{-1}((A_k)_y) dPY_k^{-1}(y),\] wobei $(A_k)_y := \{x \in \mathbb{R}: (y,x) \in A_k\}$. Das kannst du auswerten, indem du letztlich noch
\[\frac{d P Y_k^{-1}}{d\lambda} = f_{Y_k}, \, \frac{d P X_{k+1}^{-1}}{d\lambda} = f_{X_{k+1}}\] mit den jeweils passenden Dichten verwendest. Die resultierende Verteilung von $N$ erfreut sich selbst einer großen Prominenz.

LG,
semasch



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Ferdan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22


2021-06-22 07:39 - semasch in Beitrag No. 1 schreibt:
Moin Ferdan,

$N$ ist, so wie es im Startbeitrag definiert ist, nicht $P$-fs korrekt festgelegt, da $P(Y_1 > 1) > 0$ gilt. Man muss also (unter Beachtung von $Y_0 = 0$ und $0 \in \mathbb{N}$) so definieren:
\[N := \max\{k \in \mathbb{N}: Y_k \le 1\}.\] Betrachte nun $k \ge 1$ und beachte, dass mit $A_k := \{(y,x) \in \mathbb{R}^2: y \le 1, x > 1-y\}$ die Beziehung
\[[N = k] = [Y_k \le 1, X_{k+1} > 1-Y_k] = [(Y_k,X_{k+1}) \in A_k]\] gilt. Außerdem sind $Y_k \sim \text{Erl}(\lambda,k)$ und $X_{k+1} \sim \text{Erl}(\lambda,1) = \text{Exp}(\lambda)$ unabhängig Erlang-verteilt und insbesondere ist $P(Y_k,X_{k+1})^{-1} = PY_k^{-1} \otimes PX_{k+1}^{-1}$. Damit hast du mit dem Satz von Fubini für Mengen
\[P(N = k) = P(Y_k,X_{k+1})^{-1}(A_k) = \int PX_{k+1}^{-1}((A_k)_y) dPY_k^{-1}(y),\] wobei $(A_k)_y := \{x \in \mathbb{R}: (y,x) \in A_k\}$. Das kannst du auswerten, indem du letztlich noch
\[\frac{d P Y_k^{-1}}{d\lambda} = f_{Y_k}, \, \frac{d P X_{k+1}^{-1}}{d\lambda} = f_{X_{k+1}}\] mit den jeweils passenden Dichten verwendest. Die resultierende Verteilung von $N$ erfreut sich selbst einer großen Prominenz.

LG,
semasch

Ich bin nicht ganz mit deiner Notation Vertraut. Was meinst du z.B. mit $PY_k^{-1}$ ?



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semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-22


\[PY_k^{-1}(B) := P(Y_k^{-1}(B)) = P(Y_k \in B)\] für alle $B \in \mathcal{B}$. Es handelt sich also einfach um die (induzierte) Verteilung der Zufallsvariable $Y_k$.

LG,
semasch



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Ferdan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22


2021-06-22 18:14 - semasch in Beitrag No. 3 schreibt:
\[PY_k^{-1}(B) := P(Y_k^{-1}(B)) = P(Y_k \in B)\] für alle $B \in \mathcal{B}$. Es handelt sich also einfach um die (induzierte) Verteilung der Zufallsvariable $Y_k$.

LG,
semasch

Danke, hab ich mir fast schon gedacht aber wollte nur nochmal sicher gehen ^^

Ich probiers dann mal, vielen Dank für die Hilfe.



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semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-22


Kein Problem, hätte ich an deiner Stelle genau so gemacht, wenn ich die Notation nicht gekannt hätte - es gibt im vorliegenden Fall ja wirklich einige verschiedene Schreibweisen in der Literatur anzutreffen.

LG,
semasch



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Ferdan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23


2021-06-22 19:25 - semasch in Beitrag No. 5 schreibt:
Kein Problem, hätte ich an deiner Stelle genau so gemacht, wenn ich die Notation nicht gekannt hätte - es gibt im vorliegenden Fall ja wirklich einige verschiedene Schreibweisen in der Literatur anzutreffen.

LG,
semasch

Ich habe jetzt mal ein wenig experimentiert und würde bei N = k auf den Ausdruck $\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{\Gamma(k+1)}$ stoßen... kann das in die richtige Richtung gehen oder hab ich da totalen quatsch ausgerechnet?

Edit: Mooooooment, das ist ja die Poisson Verteilung oder?



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semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-23


Ja, das ist ganz richtig so, es ist $N \sim P(\lambda)$.

LG,
semasch



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Ferdan
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25


2021-06-23 23:31 - semasch in Beitrag No. 7 schreibt:
Ja, das ist ganz richtig so, es ist $N \sim P(\lambda)$.

LG,
semasch

Vielen dank für deine Hilfe :)

Ich wollte mich doch nochmal Rückmelden weil ich noch einen anderen Weg gefunden habe und nicht ganz verstehe, wieso dieser funktioniert. Ich habe folgendes betrachtet:

$\mathbb{P}(S_k \leq 1 \cap S_{k+1} > 1) = \mathbb{P}(S_k \leq 1 \setminus S_{k+1} \leq 1) = \mathbb{P}(S_k \leq 1) - \mathbb{P}(S_{k+1} \leq 1) = F_{S_k}(1) - F_{S_{k+1}}(1)$ wobei da dann tatsächlich auch nach viel rechnerei das richtige rauskommt.

Was ich mich gefragt habe: wieso? Darf man das überhaupt? Die differenz impliziert eine Inklusion. Fakt ist, wenn man die Menge $\{S_k \leq 1\}$ und $\{S_{k+1} \leq 1\}$ betrachtet, dann ist wenn die Bedingung in der zweiten Menge erfüllt ist, die Bedingung garantiert auch in der erssten erfüllt. Man könnte also meinen, die zweite Menge wäre eine Teilmenge der ersten.

Was mich daran jetzt aber stört, die Stelligkeiten der Zufallsvariablen sind ja unterschiedlich, also kann man diese Mengen so eigentlich gar nicht in Relation setzen oder?

Wäre cool wenn du oder jemand anders diese Verwirrung noch auflösen könnte :)

Mit freundlichen Grüßen



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semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-25


2021-06-25 18:33 - Ferdan in Beitrag No. 8 schreibt:
Was ich mich gefragt habe: wieso? Darf man das überhaupt? Die differenz impliziert eine Inklusion. Fakt ist, wenn man die Menge $\{S_k \leq 1\}$ und $\{S_{k+1} \leq 1\}$ betrachtet, dann ist wenn die Bedingung in der zweiten Menge erfüllt ist, die Bedingung garantiert auch in der erssten erfüllt. Man könnte also meinen, die zweite Menge wäre eine Teilmenge der ersten.

Ja, das ist alles richtig so, wie du geschrieben hast. Es gilt $[S_{k+1} \le 1] \subseteq [S_k \le 1]$.

2021-06-25 18:33 - Ferdan in Beitrag No. 8 schreibt:
Was mich daran jetzt aber stört, die Stelligkeiten der Zufallsvariablen sind ja unterschiedlich, also kann man diese Mengen so eigentlich gar nicht in Relation setzen oder?

Hier bin ich mir nicht ganz sicher, was du mit verschiedenen Stelligkeiten meinst. Sowohl $S_k$ als auch $S_{k+1}$ sind auf einem gemeinsamen, zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ definiert, insofern sind $[S_k \le 1], [S_{k+1} \le 1] \subseteq \Omega$. Der Vergleichbarkeit dieser Mengen sollte also nichts im Wege stehen.

LG,
semasch



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2021-06-25 19:13 - semasch in Beitrag No. 9 schreibt:
2021-06-25 18:33 - Ferdan in Beitrag No. 8 schreibt:
Was ich mich gefragt habe: wieso? Darf man das überhaupt? Die differenz impliziert eine Inklusion. Fakt ist, wenn man die Menge $\{S_k \leq 1\}$ und $\{S_{k+1} \leq 1\}$ betrachtet, dann ist wenn die Bedingung in der zweiten Menge erfüllt ist, die Bedingung garantiert auch in der erssten erfüllt. Man könnte also meinen, die zweite Menge wäre eine Teilmenge der ersten.

Ja, das ist alles richtig so, wie du geschrieben hast. Es gilt $[S_{k+1} \le 1] \subseteq [S_k \le 1]$.

2021-06-25 18:33 - Ferdan in Beitrag No. 8 schreibt:
Was mich daran jetzt aber stört, die Stelligkeiten der Zufallsvariablen sind ja unterschiedlich, also kann man diese Mengen so eigentlich gar nicht in Relation setzen oder?

Hier bin ich mir nicht ganz sicher, was du mit verschiedenen Stelligkeiten meinst. Sowohl $S_k$ als auch $S_{k+1}$ sind auf einem gemeinsamen, zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ definiert, insofern sind $[S_k \le 1], [S_{k+1} \le 1] \subseteq \Omega$. Der Vergleichbarkeit dieser Mengen sollte also nichts im Wege stehen.

LG,
semasch

Das liegt vielleicht an meiner Verwirrung wie denn nun die Summe von Zufallsvariablen definiert ist. Das habe ich mich schon immer gefragt und vielleicht muss ich dort nochmals etwas nachfragen. Wenn wir z.B. im diskreten $\Omega = \{\omega_1, \omega_2, ..., \omega_n\}$ betrachten mit zwei Zufallsvariablen $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ und $Y: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$. Dann ist z.B. $X(\omega_i) = x_i$ und $Y(\omega_i) = y_i$

Wenn ich dann jetzt eine neue Zufallsvariable definiere, $Z = X + Y$, wie sieht diese dann aus? Geht diese dann von $\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ oder $\Omega^2 \rightarrow \mathbb{R}$? Eigentlich sind $$X und $Y$ ja einstellige Funktionen oder? FUnktioniert dann $Z$ so: $Z(\omega_i) = X(\omega_i) + Y(\omega_i)$ oder eher $Z((\omega_i, \omega_j)) = X(\omega_i) + Y(\omega_j)$ ?



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2021-06-25 20:02 - Ferdan in Beitrag No. 10 schreibt:
Wenn ich dann jetzt eine neue Zufallsvariable definiere, $Z = X + Y$, wie sieht diese dann aus? Geht diese dann von $\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ oder $\Omega^2 \rightarrow \mathbb{R}$? Eigentlich sind $$X und $Y$ ja einstellige Funktionen oder? FUnktioniert dann $Z$ so: $Z(\omega_i) = X(\omega_i) + Y(\omega_i)$ oder eher $Z((\omega_i, \omega_j)) = X(\omega_i) + Y(\omega_j)$ ?

Ersteres, die Summe von Zufallsvariablen (wie auch skalare Vielfache, das Produkt, die Differenz, der Quotient, usw.) ist punktweise definiert:
\[(X+Y)(\omega) := X(\omega) + Y(\omega), \, \forall \omega \in \Omega.\]
LG,
semasch



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