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  Beweis, dass alle Richtungsableitungen existieren |
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Strandkorb
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Mitteilungen: 540
 |  Themenstart: 2021-06-21
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Hallo Zusammen
Ich hätte da folgende Aufgabe:
Zeige, dass die Funktion \(f(x,y)=\frac{2xy^2}{x^2+y^4}\) falls \((x,y)\neq (0,0)\) und \(f(x,y)=0\) falls \((x,y)=(0,0)\) in (0,0) alle Richtungsableitungen besitzt.
Ich hätte das so gemacht:
Sei \((h_1,h_2)\in \mathbb{R}^2-{(0,0)}\) eine beliebige Richtung dann gilt \(\frac{f(t(h_1,h_2))-f(0,0)}{t}=\frac{2t^3h_1h_2^2}{t^3(h_1^2+t^2h_2^4)}\stackrel{t\rightarrow 0}{\rightarrow}\frac{2h_2^2}{h_1}\). Da nun also der Limes existiert heisst das dass alle Richtungsableitungen in \(h\in \mathbb{R}^2-{(0,0)}\) existieren.
So weit haben sie es in der Lösung auch gemacht, doch dann haben sie noch gesagt wenn h=(0,0) ist dann ist dieser Bruch von oben, bzw. der Limes 0 und dann haben sie erst gesagt dass alle richtungsableitungen exisiteren. Doch wieso muss man das machen, denn die Definition der Richtungsableitung geht doch nur für \(h\neq (0,0)\).
Könnte mir das jemand erklären?
Vielen Dank und viele Grüsse
Hier wäre noch die Lösung
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54650_Bildschirmfoto_2021-06-21_um_21.11.07.jpg
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zippy
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-21
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\quoteon(2021-06-21 20:42 - Strandkorb im Themenstart)
\(\frac{2t^3h_1h_2^2}{t^3(h_1^2+t^2h_2^4)}=\frac{2h_2^2}{h_1}\)
\quoteoff
Diese beiden Ausdrücke sind nicht gleich.
\quoteon(2021-06-21 20:42 - Strandkorb im Themenstart)
\(\frac{2h_2^2}{h_1}\). Da nun also der Limes existiert
\quoteoff
Dieser Ausdruck existiert nur für $h_1\ne0$.
\quoteon(2021-06-21 20:42 - Strandkorb im Themenstart)
Doch wieso muss man das machen, denn die Definition der Richtungsableitung geht doch nur für \(h\neq (0,0)\).
\quoteoff
Da du die Musterlösung nicht abgeschrieben hast, kann man leider nur raten... Vermutlich geht es nicht um den (tatsächlich irrelevanten) Fall $h=(0,0)$, sondern um $h_1=0$.
--zippy
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Strandkorb
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21
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Hallo Zippy
Also ja bei der Umformung ist mir der Grenzwert beim Abschreiben meiner Lösung an die falsche Stelle geraten, habe das korrigiert. Nun habe ich auch die Lösung hochgeladen. Ich verstehe immer noch nicht wieso man dann auch die Richtung h=0 anschauen muss, also mir ist klar dass meine Richtungsableitung nur existiert für h ungleich 0 bzw. \(h_2\) ungleich 0 aber ist das nicht die Definition, denn der Richtungsvektor kann doch gar nicht 0 sein denn sonst berechnet man doch gar keine Richtungsableitung
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zippy
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| Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-21
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\quoteon(2021-06-21 21:15 - Strandkorb in Beitrag No. 2)
Ich verstehe immer noch nicht wieso man dann auch die Richtung h=0 anschauen muss
\quoteoff
Das muss man nicht, und die Musterlösung macht das auch nicht.
Was sich die Musterlösung anschaut, ist, wie schon vermutet, der Fall $h_1=0$ ($v_x=0$ in der Schreibweise der Musterlösung).
\quoteon(2021-06-21 21:15 - Strandkorb in Beitrag No. 2)
aber ist das nicht die Definition, denn der Richtungsvektor kann doch gar nicht 0 sein denn sonst berechnet man doch gar keine Richtungsableitung
\quoteoff
Es kann nicht $h=0$ sein, aber es kann $h_1=0$ sein. Betrachte beispielsweise den Richtungsvektor $h=(0,1)$.
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21
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ah ja blöd falsch gelesen, also muss man solche Spezialfälle jeweils anschauen oder nicht?
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zippy
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-21
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\quoteon(2021-06-21 21:32 - Strandkorb in Beitrag No. 4)
also muss man solche Spezialfälle jeweils anschauen oder nicht?
\quoteoff
Ja. Spezialfälle zu ignorieren ist selten eine gute Idee.
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21
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