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Universität/Hochschule Fallunterscheidung Bijektivität
gruebl
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-22


Hallo, ich habe eine Funktion mit Fallunterscheidung und möchte zeigen, dass diese bijektiv ist. Dabei habe ich bis jetzt noch nie eine Unterscheidung zwischen drei Fällen gehabt:

fed-Code einblenden

Wie zeige ich hier inj. / surj. ? Einfach für jeden der drei Fälle?

gruebl



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

überlege dir einmal, was der mittlere der drei Terme genau macht und bringe das in einen Zusammenang mit dem Einzelwert \(f(0)=\frac{1}{2}\). Dann werden eigentlich sowohl die Injektivität als auch die Surjektivität leicht einsehbar.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Funktionen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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gruebl
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22


\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-06-22 15:56 - Diophant in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

überlege dir einmal, was der mittlere der drei Terme genau macht und bringe das in einen Zusammenang mit dem Einzelwert \(f(0)=\frac{1}{2}\). Dann werden eigentlich sowohl die Injektivität als auch die Surjektivität leicht einsehbar.


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Funktionen' von Diophant]
\(\endgroup\)

Die Funktion bildet ja vom Intervall [0,1) in (0,1) ab. D.h., ich darf keine Null als Wert erhalten. Das umgehe ich ja mit f(0)=1/2. Der zweite Term halbiert jetzt immer alle 1/(2^n). Natürlich für unendliche n. Aber ich verstehe nicht genau, wie die beiden in Verbindung stehen. Müsste nicht theoretisch die 1/2 weitergeschickt werden auf 1/(2^n).
Bin noch etwas ratlos, was das angeht. Insbesondere in Bezug auf das zeigen von Bijektivität.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-06-22 16:01 - gruebl in Beitrag No. 2 schreibt:
Die Funktion bildet ja vom Intervall [0,1) in (0,1) ab. D.h., ich darf keine Null als Wert erhalten.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das ist ein Nebenkriegsschauplatz, denn es ist a) gewährleistet und b) wäre ja sonst die Aufgabe fehlerhaft.

2021-06-22 16:01 - gruebl in Beitrag No. 2 schreibt:
Das umgehe ich ja mit f(0)=1/2.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das zum einen. Aber der Bruch ist eine Zweierpotenz, und das ist hier das entscheidende.

2021-06-22 16:01 - gruebl in Beitrag No. 2 schreibt:
Der zweite Term halbiert jetzt immer alle 1/(2^n).
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Und was kommt dabei heraus, wenn man eine Zweierpotenz halbiert? Richtig: wieder eine Zweierpotenz.

2021-06-22 16:01 - gruebl in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber ich verstehe nicht genau, wie die beiden in Verbindung stehen. Müsste nicht theoretisch die 1/2 weitergeschickt werden auf 1/(2^n).
Bin noch etwas ratlos, was das angeht. Insbesondere in Bezug auf das zeigen von Bijektivität.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Na ja, so arg viel Zeit hast du dir aber auch noch nicht genommen, um darüber nachzudenken. Versteife dich nicht auf die Bijektivität sondern untersuche getrennt auf Injektivität und Surjektivität. Unterscheide dabei alle Zahlen aus Urbild- und Zielmenge daraufhin, ob sie eine Zweierpotenz sind oder nicht.

- Gibt es hier \(x_1\neq x_2\), so dass \(f(x_1)=f(x_2)\) gilt? Falls nein: weshalb?

- Gibt es für jeden Wert \(y\in(0,1)\) ein \(x\) mit \(f(x)=y\)? Falls ja, wiederum: weshalb?

(Die entsprechenden Eigenschaften der beteiligten Terme dürfen und sollen hier zur Begründung herangezogen werden.)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-22


Hallo,

2021-06-22 16:01 - gruebl in Beitrag No. 2 schreibt:
Müsste nicht theoretisch die 1/2 weitergeschickt werden auf 1/(2^n).

Was ist \(f(\frac12)\)?

Also, was ist \(f(x)\), wenn \(x=\frac12\)?

Da \(\frac12=\frac1{2^n}\) für n = 1, ist somit \(f(\frac12)=f(x)=\frac x2=\frac14\).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



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gruebl
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-06-22 16:14 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo,

2021-06-22 16:01 - gruebl in Beitrag No. 2 schreibt:
Die Funktion bildet ja vom Intervall [0,1) in (0,1) ab. D.h., ich darf keine Null als Wert erhalten.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das ist ein Nebenkriegsschauplatz, denn es ist a) gewährleistet und b) wäre ja sonst die Aufgabe fehlerhaft.

2021-06-22 16:01 - gruebl in Beitrag No. 2 schreibt:
Das umgehe ich ja mit f(0)=1/2.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das zum einen. Aber der Bruch ist eine Zweierpotenz, und das ist hier das entscheidende.

2021-06-22 16:01 - gruebl in Beitrag No. 2 schreibt:
Der zweite Term halbiert jetzt immer alle 1/(2^n).
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Und was kommt dabei heraus, wenn man eine Zweierpotenz halbiert? Richtig: wieder eine Zweierpotenz.

2021-06-22 16:01 - gruebl in Beitrag No. 2 schreibt:
Aber ich verstehe nicht genau, wie die beiden in Verbindung stehen. Müsste nicht theoretisch die 1/2 weitergeschickt werden auf 1/(2^n).
Bin noch etwas ratlos, was das angeht. Insbesondere in Bezug auf das zeigen von Bijektivität.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Na ja, so arg viel Zeit hast du dir aber auch noch nicht genommen, um darüber nachzudenken. Versteife dich nicht auf die Bijektivität sondern untersuche getrennt auf Injektivität und Surjektivität. Unterscheide dabei alle Zahlen aus Urbild- und Bildmenge daraufhin, ob sie eine Zweierpotenz sind oder nicht.

- Gibt es hier \(x_1\neq x_2\), so dass \(f(x_1)=f(x_2)\) gilt? Falls nein: weshalb?

- Gibt es für jeden Wert \(y\in(0,1)\) ein \(x\) mit \(f(x)=y\)? Falls ja, wiederum: weshalb?

(Die entsprechenden Eigenschaften der beteiligten Terme dürfen und sollen hier zur Begründung herangezogen werden.)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Danke für diese ausführliche Antwort, lieber Diophant!
Mir ist bewusst, was Inj. und Surj. bedeuten und ich kann sie auch problemlos zeigen. Nur bei 3 Fällen bin ich mir nicht sicher. Muss ich je zwei x nehmen, eins muss x = 1/2 sein, das andere aus 1/(2^n) ? und dann ein x = 1/2 und ein x sonst. Und dann noch ein x aus 1/(2^n) und ein x aus sonst?
Ich glaube, mein Dozent möchte das rechnerisch bewiesen haben. Oder ist das hier nur argumentativ möglich?

Gruß, gruebl



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
2021-06-22 16:23 - gruebl in Beitrag No. 5 schreibt:
Muss ich je zwei x nehmen, eins muss x = 1/2 sein, das andere aus 1/(2^n) ? und dann ein x = 1/2 und ein x sonst. Und dann noch ein x aus 1/(2^n) und ein x aus sonst?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Nein, du musst die Injektivität natürlich generell begründen.
 
2021-06-22 16:23 - gruebl in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich glaube, mein Dozent möchte das rechnerisch bewiesen haben. Oder ist das hier nur argumentativ möglich?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Es ist keine Frage dessen, was möglich ist, sondern eine Frage der Sinnhaftigkeit. Und vor dem Hintergrund würde ich klar sagen: das soll argumentativ angegangen werden. Denn wenn man es durchschaut hat, dann wird das ein eher überschaubarer Text...

Was weißt du über die (beteiligte) Identität, genauso wie über die Zuordnung \(x\mapsto\frac{x}{2}\)? Also welche Eigenschaft haben beide hier insbesondere auch unter der jeweiligen Einschränkung?


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22


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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-06-22 16:30 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
2021-06-22 16:23 - gruebl in Beitrag No. 5 schreibt:
Muss ich je zwei x nehmen, eins muss x = 1/2 sein, das andere aus 1/(2^n) ? und dann ein x = 1/2 und ein x sonst. Und dann noch ein x aus 1/(2^n) und ein x aus sonst?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Nein, du musst die Injektivität natürlich generell begründen.
 
2021-06-22 16:23 - gruebl in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich glaube, mein Dozent möchte das rechnerisch bewiesen haben. Oder ist das hier nur argumentativ möglich?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Es ist keine Frage dessen, was möglich ist, sondern eine Frage der Sinnhaftigkeit. Und vor dem Hintergrund würde ich klar sagen: das soll argumentativ angegangen werden. Denn wenn man es durchschaut hat, dann wird das ein eher überschaubarer Text...

Was weißt du über die (beteiligte) Identität, genauso wie über die Zuordnung \(x\mapsto\frac{x}{2}\)? Also welche Eigenschaft haben beide hier insbesondere auch unter der jeweiligen Einschränkung?


Gruß, Diophant


\(\endgroup\)

Vielleicht als kleine Themeneinordnung, das alles geschieht im Rahmen eines Beweises für die Gleichmächtigkeit der beiden Intervalle. Ich habe schon überlegt, eine Umkehrabbildung anzugeben...

Offensichtlich ist die Zuordnung x-> x/2 bijektiv. Das ist trivial. Oder worauf wolltest du hinaus? Danke, dass du dich mit der Frage beschäftigst. LG



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-22

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Wie oft soll ich es denn noch schreiben: halte die beiden Eigenschaften 'injektiv' und 'surjektiv' auseinander.

Ja, sowohl die Identität als auch \(f(x)=x/2\) sind über jedem beliebigen Definionsbereich injektiv. Jetzt hast du noch den Wert an der Stelle \(x=0\). Gibt es mit dem ein Problem, also kann der zugehörige Funktionswert von einem der beiden anderen Terme angenommen werden? Falls nein: kurze Begründung und die Injetivität ist gezeigt.

(Kleiner Tipp hierzu: eine reelle Zahl ist entweder eine Zweierpotenz, oder sie ist keine. Deshalb nennt man das Dezimalsystem in der Schule ja auch manchmal "Zehner-System" und nicht etwa "Zen-System"... 😉)

Jetzt fehlt nur noch eine Begründung, warum es für jedes \(y\in (0,1)\) ein Urbild unter dieser Funktion gibt. Dann ist die Surjektivität und damit die Bijektivität klar.

Die alles entscheidende Frage hier habe ich dir doch weiter oben schon beantwortet: Was ist die Hälfte einer Zweier-Potenz?...

2021-06-22 16:35 - gruebl in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich habe schon überlegt, eine Umkehrabbildung anzugeben...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Das könntest du natürlich machen, das wäre hier ebenfalls eine leichte Übung und würde die Surjektivität dann rechnerisch begründen.

In meinen Augen ist es jedoch unnötige Schreibarbeit (ich gelte aber in dieser Hinsicht auch nicht gerade als ein Ausbund an Fleiß...)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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