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Analysis » Stetigkeit » Epsilon-Delta-Kriterium
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Universität/Hochschule Epsilon-Delta-Kriterium
student77
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-06-22


Hallo Leute,

ich versuche gerade folgende Funktion auf Stetigkeit zu prüfen und habe Probleme damit das Epsilon-Delta-Kriterium zu verstehen. Wenn mir jemand dabei helfen könnte wäre das toll.

\( f: \mathbb{R}^2 \to\ \mathbb{R}, \; f(x,y)=
\begin{cases}
x sin(\frac{1}{y}) , & \text{für} \; y \neq 0 \\
0 , & \text{für} \; y = 0
\end{cases}\)

Epsilon-Delta-Kriterium:

\(f: D\,\to\,\mathbb{R} \) ist stetig bei \(x_0 \in D\), wenn \( \forall  
\epsilon > 0 \; \; \exists \delta > 0 \; \; \forall x \in D :\)

\( |x -x_0| < \delta \; \; \Rightarrow \; \; |f(x) -f(x_0)| < \epsilon \)


Ich würde nun eine Fallunterscheidung machen und anfangen mit

1. Fall: \( y \neq 0 \; , \; x = 0 \)

Ich muss also zeigen das, \( |x sin(\frac{1}{y}) - 0 \cdot sin(\frac{1}{y})| < \epsilon \; ,\; \epsilon > 0 \)

\(<=> |x sin(\frac{1}{y}) - 0 \cdot sin(\frac{1}{y})| = 0 \)

und das, \( |(x,y) -(0,y)| < \delta \; , \; \delta > 0 \)

\( <=> |(x,y) -(0,y)| =0 \)

richtig?

Grüße,
student77







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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-22


Hallo,
so wie du es schreibst, stimmt es nicht.

Zuerst einmal ist $f$ in allen Punkten $(x,0)$ mit $x\neq 0$ unstetig. Hier versuche also nicht zu zeigen, dass $f$ stetig ist.

Wir gucken uns mal den Punkt $(0,0)$ an. Es gilt
\[
|f(x,y)|\leq |x|\leq \| (x,y)\|.
\]
Sei $\epsilon>0$ beliebig. Wir wählen $\delta:=\ldots$ so gilt $|f(x,y)|<\varepsilon$ für alle $(x,y)\in \mathbb R^2$ mit $\|(x,y)\|<\delta$.



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student77
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23


Hallo ochen,

bei \((x,0) \) mit \(x \neq 0 \) gilt doch laut Definition \(f = 0\)  und 0 ist ja stetig oder nicht?

Grüße,
student77



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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-23


2021-06-23 10:26 - student77 in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo ochen,

bei \((x,0) \) mit \(x \neq 0 \) gilt doch laut Definition \(f = 0\)  und 0 ist ja stetig oder nicht?

Grüße,
student77

Stetigkeit bedeutet aber, dass wenn du dich von einem Punkt der Form $(x,0)$ mit $x\neq 0$ nur ein kleines Stück entfernst, dass sich der Funktionswert auch nur ein kleines Stück ändert. Für die Stetigkeit reicht es also nicht, nur Punkte dieser Form zu betrachten, sondern jeweils Punkte in einer ganzen Umgebung um den jeweiligen Punkt.

Sei $(x,0)$ mit $x\neq 0$ gegeben. Betrachte dann die Folge $(x+\tfrac 1n,\tfrac 1n)_{n\in \mathbb N}$. Diese Folge konvergiert offenbar gegen $(x,0)$ aber es gilt
$$ \lim_{n\to \infty} f(x+\tfrac 1n,\tfrac 1n)=\lim_{n\to \infty}(x+\tfrac 1n) \sin(n).
$$ Dieser Grenzwert existiert aber überhaupt nicht und ist daher insbesondere nicht $0$.

LG Nico



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student77
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05


Hallo,

ich denke ich habe es verstanden.

1. Fall:\(x = 0 \) und \(y = 0\)
f ist offensichtlich stetig da \(0 \;\cdot\; sin \Big({ \frac{1}{y}}\Big) = 0\)

2. Fall:\(  y \neq 0\)  
\( \Big({ \frac{1}{y}}\Big)\) ist stetig, gleiches gilt für \( sin\Big({ \frac{1}{y}}\Big)\) somit ist auch \(x sin \Big({ \frac{1}{y}}\Big) \; \; \)stetig.

3. Fall:\( x \neq 0 , y=0  \)
 \(\lim \limits_{y \to 0} x sin \Big({ \frac{1}{y}}\Big)\) Grenzwert existiert nicht \(\Rightarrow\) f ist hier nicht stetig.

würde das so gehen?

Grüße
student77




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nzimme10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-05

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
2021-07-05 21:46 - student77 in Beitrag No. 4 schreibt:
1. Fall :
f ist offensichtlich stetig für \(x = 0 \) und \(y = 0\) da \(0 \;\cdot\; sin \Big({ \frac{1}{y}}\Big) = 0\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Die Begründung ist aber noch nicht wirklich korrekt.

2021-07-05 21:46 - student77 in Beitrag No. 4 schreibt:
2. Fall:
\(x sin \Big({ \frac{1}{y}}\Big) \; \; \)stetig für \(  y \neq 0\) denn \( \Big({ \frac{1}{y}}\Big)\) ist stetig, gleiches gilt für \( sin(x)\) und \( xsin(x)\)
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ok.

2021-07-05 21:46 - student77 in Beitrag No. 4 schreibt:
3. Fall:
\( x \neq 0 , y=0  \) gilt:
 \(\lim \limits_{y \to 0} x sin \Big({ \frac{1}{y}}\Big)\) Grenzwert existiert nicht \(\Rightarrow\) f ist hier nicht stetig.
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Siehe auch meinen letzten Beitrag für eine Begründung.

LG Nico
\(\endgroup\)


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