Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Stetigkeit » Epsilon-Delta-Kriterium
Autor
Universität/Hochschule J Epsilon-Delta-Kriterium
student77
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.09.2014
Mitteilungen: 170
  Themenstart: 2021-06-22

Hallo Leute, ich versuche gerade folgende Funktion auf Stetigkeit zu prüfen und habe Probleme damit das Epsilon-Delta-Kriterium zu verstehen. Wenn mir jemand dabei helfen könnte wäre das toll. \( f: \mathbb{R}^2 \to\ \mathbb{R}, \; f(x,y)= \begin{cases} x sin(\frac{1}{y}) , & \text{für} \; y \neq 0 \\ 0 , & \text{für} \; y = 0 \end{cases}\) Epsilon-Delta-Kriterium: \(f: D\,\to\,\mathbb{R} \) ist stetig bei \(x_0 \in D\), wenn \( \forall \epsilon > 0 \; \; \exists \delta > 0 \; \; \forall x \in D :\) \( |x -x_0| < \delta \; \; \Rightarrow \; \; |f(x) -f(x_0)| < \epsilon \) Ich würde nun eine Fallunterscheidung machen und anfangen mit 1. Fall: \( y \neq 0 \; , \; x = 0 \) Ich muss also zeigen das, \( |x sin(\frac{1}{y}) - 0 \cdot sin(\frac{1}{y})| < \epsilon \; ,\; \epsilon > 0 \) \(<=> |x sin(\frac{1}{y}) - 0 \cdot sin(\frac{1}{y})| = 0 \) und das, \( |(x,y) -(0,y)| < \delta \; , \; \delta > 0 \) \( <=> |(x,y) -(0,y)| =0 \) richtig? Grüße, student77


   Profil
ochen
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3407
Wohnort: der Nähe von Schwerin
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-22

Hallo, so wie du es schreibst, stimmt es nicht. Zuerst einmal ist $f$ in allen Punkten $(x,0)$ mit $x\neq 0$ unstetig. Hier versuche also nicht zu zeigen, dass $f$ stetig ist. Wir gucken uns mal den Punkt $(0,0)$ an. Es gilt \[ |f(x,y)|\leq |x|\leq \| (x,y)\|. \] Sei $\epsilon>0$ beliebig. Wir wählen $\delta:=\ldots$ so gilt $|f(x,y)|<\varepsilon$ für alle $(x,y)\in \mathbb R^2$ mit $\|(x,y)\|<\delta$.


   Profil
student77
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.09.2014
Mitteilungen: 170
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Hallo ochen, bei \((x,0) \) mit \(x \neq 0 \) gilt doch laut Definition \(f = 0\) und 0 ist ja stetig oder nicht? Grüße, student77


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 689
Wohnort: Köln
  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 10:26 - student77 in Beitrag No. 2) Hallo ochen, bei \((x,0) \) mit \(x \neq 0 \) gilt doch laut Definition \(f = 0\) und 0 ist ja stetig oder nicht? Grüße, student77 \quoteoff Stetigkeit bedeutet aber, dass wenn du dich von einem Punkt der Form $(x,0)$ mit $x\neq 0$ nur ein kleines Stück entfernst, dass sich der Funktionswert auch nur ein kleines Stück ändert. Für die Stetigkeit reicht es also nicht, nur Punkte dieser Form zu betrachten, sondern jeweils Punkte in einer ganzen Umgebung um den jeweiligen Punkt. Sei $(x,0)$ mit $x\neq 0$ gegeben. Betrachte dann die Folge $(x+\tfrac 1n,\tfrac 1n)_{n\in \mathbb N}$. Diese Folge konvergiert offenbar gegen $(x,0)$ aber es gilt $$ \lim_{n\to \infty} f(x+\tfrac 1n,\tfrac 1n)=\lim_{n\to \infty}(x+\tfrac 1n) \sin(n). $$ Dieser Grenzwert existiert aber überhaupt nicht und ist daher insbesondere nicht $0$. LG Nico


   Profil
student77
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 17.09.2014
Mitteilungen: 170
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-05

Hallo, ich denke ich habe es verstanden. 1. Fall:\(x = 0 \) und \(y = 0\) f ist offensichtlich stetig da \(0 \;\cdot\; sin \Big({ \frac{1}{y}}\Big) = 0\) 2. Fall:\( y \neq 0\) \( \Big({ \frac{1}{y}}\Big)\) ist stetig, gleiches gilt für \( sin\Big({ \frac{1}{y}}\Big)\) somit ist auch \(x sin \Big({ \frac{1}{y}}\Big) \; \; \)stetig. 3. Fall:\( x \neq 0 , y=0 \) \(\lim \limits_{y \to 0} x sin \Big({ \frac{1}{y}}\Big)\) Grenzwert existiert nicht \(\Rightarrow\) f ist hier nicht stetig. würde das so gehen? Grüße student77


   Profil
nzimme10
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 689
Wohnort: Köln
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-05

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-07-05 21:46 - student77 in Beitrag No. 4) 1. Fall : f ist offensichtlich stetig für \(x = 0 \) und \(y = 0\) da \(0 \;\cdot\; sin \Big({ \frac{1}{y}}\Big) = 0\) \quoteoff Die Begründung ist aber noch nicht wirklich korrekt. \quoteon(2021-07-05 21:46 - student77 in Beitrag No. 4) 2. Fall: \(x sin \Big({ \frac{1}{y}}\Big) \; \; \)stetig für \( y \neq 0\) denn \( \Big({ \frac{1}{y}}\Big)\) ist stetig, gleiches gilt für \( sin(x)\) und \( xsin(x)\) \quoteoff Ok. \quoteon(2021-07-05 21:46 - student77 in Beitrag No. 4) 3. Fall: \( x \neq 0 , y=0 \) gilt: \(\lim \limits_{y \to 0} x sin \Big({ \frac{1}{y}}\Big)\) Grenzwert existiert nicht \(\Rightarrow\) f ist hier nicht stetig. \quoteoff Siehe auch meinen letzten Beitrag für eine Begründung. LG Nico\(\endgroup\)


   Profil
student77 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]