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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Rang Matrix voller Parameter
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Universität/Hochschule Rang Matrix voller Parameter
gruebl
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  Themenstart: 2021-06-23

Hallo, kurze Frage: Gibt es einen einfacheren Weg als den Rang der folgenden Matrix mit Zeilenstufenform zu bestimmen (in Abhängigkeit von x,y)? Für bestimme x,y kann ich den Rang ablesen (z.B. x=y=0 --> Rang ist 0). Aber was ist mit x != y != 0 ? Muss ich tatsächlich die Zeilenstufenform berechnen? Das ist so langwierig und voller Fallunterscheidungen. (x,y,y,y;y,x,y,y;y,y,x,y;y,y,y,x) Gruß gruebl


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, für \(x\neq y\) kann man hier doch einfach über die lineare Unabhängigkeit der Spalten bzw. der Zeilen argumentieren. EDIT: nein, so einfach ist es nicht. Sorry! Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Matrizenrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)


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gruebl
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 12:13 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo, für \(x\neq y\) kann ma hier doch einfach über die lineare Unabhängigkeit der Spalten bzw. der Zeilen argumentieren. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Matrizenrechnung' von Diophant] \quoteoff Lieber Diophant, danke für deine Antwort. Ja, darüber habe ich auch schon nachgedacht. Wenn ich die Matrix online lösen lasse, kommen jedoch ganz viele Fallunterscheidungen usw., das sind bestimmt 30 Matrixumformungen. Welche Fälle muss ich beachten? 1. x=0, y=0 (Rang 0) 2. x=0, y != 0 3. x != 0, y = 0 (Rang 4) 4. x= Vielfaches von y 5. x != y (Rang 4)


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Fabi
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-23

Hallo, @Diophant Was ist mit x = -3, y=1? @gruebl Ziehe die erste Zeile von allen anderen Zeilen ab. Dann hat man nur noch in der ersten Spalte Einträger != 0 unter der Diagonalen; diese sind dann aber leicht auch durch Zeilen/Spaltenumformungen zu entfernen und man kann die Determinante ablesen. Dann ist klar, dass es nicht besonders viele Fälle gibt, in denen der Rang nicht 4 ist. vG, Fabi [Die Antwort wurde vor Beitrag No.2 begonnen.]


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Nuramon
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-23

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, noch eine Möglichkeit: Addiere zur ersten Zeile alle anderen Zeilen. Danach ist die erste Zeile ein Vielfaches von $(1,1,1,1)$, was für weitere Zeilenumformungen sehr praktisch ist.\(\endgroup\)


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gruebl
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 12:23 - Fabi in Beitrag No. 3) Hallo, @Diophant Was ist mit x = -3, y=1? @gruebl Ziehe die erste Zeile von allen anderen Zeilen ab. Dann hat man nur noch in der ersten Spalte Einträger != 0 unter der Diagonalen; diese sind dann aber leicht auch durch Zeilen/Spaltenumformungen zu entfernen und man kann die Determinante ablesen. Dann ist klar, dass es nicht besonders viele Fälle gibt, in denen der Rang nicht 4 ist. vG, Fabi [Die Antwort wurde vor Beitrag No.2 begonnen.] \quoteoff Die Determinante hatten wir leider noch nicht...


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gruebl
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 12:30 - Nuramon in Beitrag No. 4) Hallo, noch eine Möglichkeit: Addiere zur ersten Zeile alle anderen Zeilen. Danach ist die erste Zeile ein Vielfaches von $(1,1,1,1)$, was für weitere Zeilenumformungen sehr praktisch ist. \quoteoff Wie sähen denn die weiteren Schritte aus? Dann habe ich halt eine 1-Zeile. Was kann ich damit anfangen?


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Fabi
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 12:35 - gruebl in Beitrag No. 5) \quoteon(2021-06-23 12:23 - Fabi in Beitrag No. 3) Hallo, @Diophant Was ist mit x = -3, y=1? @gruebl Ziehe die erste Zeile von allen anderen Zeilen ab. Dann hat man nur noch in der ersten Spalte Einträger != 0 unter der Diagonalen; diese sind dann aber leicht auch durch Zeilen/Spaltenumformungen zu entfernen und man kann die Determinante ablesen. Dann ist klar, dass es nicht besonders viele Fälle gibt, in denen der Rang nicht 4 ist. vG, Fabi [Die Antwort wurde vor Beitrag No.2 begonnen.] \quoteoff Die Determinante hatten wir leider noch nicht... \quoteoff Dann schau dir einfach nach dem Umformen die Zeilenstufenform an; da kann man den Rang schließlich auch ablesen. vG, Fabi


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gruebl
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 12:40 - Fabi in Beitrag No. 7) \quoteon(2021-06-23 12:35 - gruebl in Beitrag No. 5) \quoteon(2021-06-23 12:23 - Fabi in Beitrag No. 3) Hallo, @Diophant Was ist mit x = -3, y=1? @gruebl Ziehe die erste Zeile von allen anderen Zeilen ab. Dann hat man nur noch in der ersten Spalte Einträger != 0 unter der Diagonalen; diese sind dann aber leicht auch durch Zeilen/Spaltenumformungen zu entfernen und man kann die Determinante ablesen. Dann ist klar, dass es nicht besonders viele Fälle gibt, in denen der Rang nicht 4 ist. vG, Fabi [Die Antwort wurde vor Beitrag No.2 begonnen.] \quoteoff Die Determinante hatten wir leider noch nicht... \quoteoff Dann schau dir einfach nach dem Umformen die Zeilenstufenform an; da kann man den Rang schließlich auch ablesen. vG, Fabi \quoteoff Bei deinem Vorgehen bekomme ich den Eintrag (4.Zeile , 1.Spalte) nicht weg...


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Nuramon
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-23

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-06-23 12:36 - gruebl in Beitrag No. 6) \quoteon(2021-06-23 12:30 - Nuramon in Beitrag No. 4) Hallo, noch eine Möglichkeit: Addiere zur ersten Zeile alle anderen Zeilen. Danach ist die erste Zeile ein Vielfaches von $(1,1,1,1)$, was für weitere Zeilenumformungen sehr praktisch ist. \quoteoff Wie sähen denn die weiteren Schritte aus? Dann habe ich halt eine 1-Zeile. Was kann ich damit anfangen? \quoteoff Du musst eine Fallunterscheidung machen, ob der Faktor Null ist oder nicht. Ist er es nicht, dann kannst du viele Nullen in den anderen Zeilen erzeugen indem du ein Vielfaches der Einserzeile von den anderen Zeilen subtrahierst. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]\(\endgroup\)


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gruebl
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 12:42 - Nuramon in Beitrag No. 9) \quoteon(2021-06-23 12:36 - gruebl in Beitrag No. 6) \quoteon(2021-06-23 12:30 - Nuramon in Beitrag No. 4) Hallo, noch eine Möglichkeit: Addiere zur ersten Zeile alle anderen Zeilen. Danach ist die erste Zeile ein Vielfaches von $(1,1,1,1)$, was für weitere Zeilenumformungen sehr praktisch ist. \quoteoff Wie sähen denn die weiteren Schritte aus? Dann habe ich halt eine 1-Zeile. Was kann ich damit anfangen? \quoteoff Du musst eine Fallunterscheidung machen, ob der Faktor Null ist oder nicht. Ist er es nicht, dann kannst du viele Nullen in den anderen Zeilen erzeugen indem du ein Vielfaches der Einserzeile von den anderen Zeilen subtrahierst. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.] \quoteoff Welchen Faktor meinst du genau? Von x oder y?


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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-06-23

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Nach der ersten Umformung in meinem Ansatz hat die erste Zeile die Form $\alpha(1,1,1,1)$. Mit Faktor meinte ich $\alpha$.\(\endgroup\)


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