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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Anzahl linearer Abbildungen
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Universität/Hochschule J Anzahl linearer Abbildungen
Max_Br
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  Themenstart: 2021-06-23

Hallo, Wie bestimmt man die Anzahl der linearen Abbildungen f : R^3 -> R^3 mit f^4 = -id_R^3 . Zunächst einmal vielleicht eine kurze Hilfe und man erklärt mir was -id ist. Danke.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \(-\on{id}\) ist einfach die mit -1 multiplizierte Einheitsmatrix ('id': für 'Identität'). Hilft dir das schon weiter? Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 17:55 - Diophant in Beitrag No. 1) \(-\on{id}\) ist einfach die mit -1 multiplizierte Einheitsmatrix ('id': für 'Identität'). [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant] \quoteoff Beziehungsweise wenn man es so genau nehmen will ist $\operatorname{id}_{\mathbb R^3}$ die lineare Abbildung $\mathbb R^3\to \mathbb R^3$ mit $\operatorname{id}_{\mathbb R^3}(x)=x$. Entsprechend ist $-\operatorname{id}_{\mathbb R^3}$ einfach die lineare Abbildung mit $-\operatorname{id}_{\mathbb R^3}(x)=-x$. LG Nico


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Max_Br
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Ja danke das hilft schonmal. Ein zwei Fragen habe ich aber immer noch. \IR^3 sieht doch wie folgt aus: (a,b,c) Wie sieht da die Einheitsmatrix aus. Von Matrizen weiß ich wie es aussieht. (1,0,0;0,1,0;0,0,1) [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-23

\quoteon(2021-06-23 18:05 - Max_Br in Beitrag No. 3) Ja danke das hilft schonmal. Ein zwei Fragen habe ich aber immer noch. \IR^3 sieht doch wie folgt aus: (a,b,c) Wie sieht da die Einheitsmatrix aus. Von Matrizen weiß ich wie es aussieht. (1,0,0;0,1,0;0,0,1) [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.] \quoteoff In $\mathbb R^3$ gibt es in dem Sinne keine "Einheit", da es in $\mathbb R^3$ keine Multiplikation gibt. Aber das ist ja auch gar nicht gefragt hier. LG Nico


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Max_Br
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Wie geht man jetzt am Besten vor, wenn man herausfinden will wie viele Abbildungen es f^4=-id_R^3 gibt. Gibt es da ein Schema mit dem man das einfach herausfinden kann? Ich hab nämlich nicht wirklich eine Ahnung wie ich da vorgehen könnte.


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ligning
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-23

Die Gleichung $f^4 + id = 0$ kommt ja daher, dass man $f$ in das Polynom $p(X) = X^4 + 1$ einsetzt und $p(f)=0$ fordert. Weißt du irgendwas über spezielle zu einem Endomorphismus zugehörige Polynome mit $p(f) = 0$?


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Max_Br
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23

Danke schonmal für die Hilfe aber zu diesem Polynom weiß ich im ersten Moment zumindest nichts.


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ligning
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-24

Du hast doch schon einen anderen Thread zum Thema Minimalpolynom eröffnet. So prinzipiell solltest du da nicht völlig verloren sein. (BTW ich weiß nicht, ob das auf direktem Wege zum Ziel führt, aber das ist erstmal ein naheliegender Ansatz: Wie verhält sich das Minimalpolynom $\mu$ zu $p=X^4+1$? Wie zum charakteristischen Polynom? Kann man etwas über mögliche Minimalpolynome sagen? Kann man etwas darüber aussagen, wieviele Endomorphismen von $\IR^3$ (wobei man da auch gleich mit 3×3-Matrizen arbeiten kann) dieses Minimalpolynom haben können?)


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ochen
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-24

Hallo, alternativ könnte man doch auch direkt über die Eigenwerte vorgehen. Jeder Endomorphismus $f\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ hat einen reellen Eigenwert. Sei $\lambda\in \mathbb R$ dieser Eigenwert und $v\in \mathbb R^3$ einer der dazugehörigen Eigenvektoren. Da $v\neq 0$ ist, muss eine der Komponenten $v_i\neq 0$ sein. Es gilt also ...


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