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Kein bestimmter Bereich J Polynom
Magma93
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  Themenstart: 2021-06-25

Hallo, https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54178_18_Unbenannt.png Summiert die Vielfachen von Potenzen meint doch, dass die Potenz $x^n$ selbst damit gemeint ist, und davon halt mehrere, oder? Wäre dann $P(x)= x^2+x^2$ ein Polynom? Ja, weil Vielfache von Potenzen summiert werden.


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Moin, du machst dir an dieser Stelle wieder unnötige Gedanken. \(P(x)=x^2+x^2=2x^2\) ist genauso ein Polynom wie etwa das Nullpolynom \(P(x)=0\) oder jede konstante Funktion. Das sind aber natürlich alles Spezialfälle. Im allgemeinen handelt es sich um eine Summe aus unterschiedlichen Potenzen der unabhängigen Variablen. Wichtig: die Exponenten sind aus \(\IN\) und es gibt eine höchste Potenz, deren Exponent man auch die Ordnung bzw. den Grad des Polynoms nennt. (Dem Nullpolynom wird allerdings manchmal die Ordnung \(-\infty\) per Definition zugewiesen). Auch noch wichtig: das bezieht sich alles auf Polynome in einer Variablen. Es gibt aber auch Polynome in mehreren Variablen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Magma93
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25

Hallo Diophant, danke erstmal. kannst du mir erklären, wieso $P(x)=0$ ein Polynom ist? Das passt irgendwie nicht mit der Definition zusammen. Hier sehe ich kein Summieren der Vielfachen von Potenzen. Oder könnte man sich das selbst basteln? Wie? So: $P(x)=\underbrace{x^1}_{x=0}+ \underbrace{x^2}_{x=0}=0$ In dem Sinne haben wir uns einfach ein Polynom gebastelt, und am Ende kommt trotzdem $0$ heraus.


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, ganz einfach. Die Koeffizienten \(a_i\) sind Elemente aus dem betrachteten Ring bzw. Körper, sagen wir mal hier: sie sind reell. Das schließt die Null mit ein. Und die Exponenten sind natürliche Zahlen, das wiederum schließt ebenfalls die Null mit ein. Die Nullfunktion ist dann einfach das Polynom \[P(x)=0\cdot x^0=0\] Wenn man zwei Polynome der Ordnung \(m\) und \(n\) hat und multipliziert beide, dann bekommt man (wegen der Potenzgesetze) ein Polynom der Ordnung \(m+n\). Das würde mit dem Nullpolynom nicht funktionieren, wenn man ihm etwa die Ordnung \(0\) oder eine negative Zahl zuordnen würde. Mit der o.g. Definition, also dass der Grad des Nullpolynoms \(-\infty\) ist, funktioniert aber auch diese Regel zusammen mit dem Nullpolynom. Wenn man zwei solche Polynome addiert, dann ist die Ordnung des neuen Polynoms gleich \(\max(m,n)\). Auch dies funktioniert so mit dem Nullpolynom. Konstante Funktionen ungleich Null haben dann konsequenterweise den Grad \(0\). Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Magma93
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-26

Vielen Dank. bevor ich auf deinen Beitrag eingehe, wollte ich nochmal wissen, ob meine Ausführung richtig war mit $P(x)=\underbrace{x^1}_{x=0}+ \underbrace{x^2}_{x=0}=0$? Kann man auch so eine Schlussfolgerung machen?


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2021-06-26 13:03 - Magma93 in Beitrag No. 4) bevor ich auf deinen Beitrag eingehe, wollte ich nochmal wissen, ob meine Ausführung richtig war mit $P(x)=\underbrace{x^1}_{x=0}+ \underbrace{x^2}_{x=0}=0$? Kann man auch so eine Schlussfolgerung machen? \quoteoff Welchen Sinn soll das denn haben? Von einem elementaren Standpunkt aus gesehen ist ein Polynom eine Funktion, und das Nullpolynom ebenfalls. Dass ein Polynom ohne Absolutglied an der Stelle \(x=0\) eine Nullstelle besitzt, das ist ein alter Hut (sollte man aus der Schule noch wissen) und hat ja wie gesagt mit dem Nullpolynom rein gar nichts zu tun. Könntest du einmal den Sinn dieses Threads versuchen ein wenig zu präzisieren? Mir erschließt sich hier ehrlich gesagt gerade überhaupt nicht, worauf du eigentlich hinauswillst. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Magma93
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-26

Hallo, danke für die schnelle Rückmeldung. Vielleicht mögen es Banalitäten und Selbstverständlichkeiten für dich sein, aber für mich sind das sehr wichtige Sachen, die für mich weiter das Puzzel im Kopf füllen. Deine Ausführung war prima. Die Frage lautete: Wenn wir das Nullpolynom haben $P(x)=0$, dann passt das erstmal sogesehen nicht mit der Definition aus Wikipedia. Wenn wir aber vorher das hier machen (das nur als ein Beispiel von Milliarden von Möglichkeiten): $P(x)=a_0\underbrace{x^1}_{x=0}+ a_1\underbrace{x^2}_{x=0}=0$ . Jetzt versteht man als Eselsbrücke, dass man auch so auf die Null kommt. Wenn ich diese Gleichung so betrachte, dann passt es mit der Definition zusammen, und deswegen könnte man so argumentieren, wenn man nur $P(x)=0$ vorliegen hätte, damit man diese Definition eines Polynoms nicht verletzt.


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Kezer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-26

\quoteon(2021-06-26 13:13 - Diophant in Beitrag No. 5) Ein Polynom ist eine Funktion, und das Nullpolynom ebenfalls. \quoteoff Genauer sollte man dazu übrigens Polynomfunktion sagen. (Ein Polynom ist keine Funktion (zumindest a priori).)


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ligning
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-26

Sorry, wenn ich hier mal dazwischengrätsche. Aber ein Polynom ist keine Funktion. Es gibt auch den eng verwandten Begriff einer Polynomfunktion, von dem hier aber gerade keine Rede ist. \quoteon(Magma93) Wäre dann $P(x)= x^2+x^2$ ein Polynom? Ja, weil Vielfache von Potenzen summiert werden. \quoteoff Ja, das kann man so sagen. Du solltest dich aber mal mit einer formalen Definition von Polynomen vertraut machen, siehe z.B. hier, dann lösen sich solche Fragen in Luft auf. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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ligning
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-26

\quoteon(2021-06-26 13:22 - Magma93 in Beitrag No. 6) Wenn wir das Nullpolynom haben $P(x)=0$, dann passt das erstmal sogesehen nicht mit der Definition aus Wikipedia. \quoteoff Doch, das ist eine leere Summe. In der formalen Definition (siehe mein vorheriges Posting) ist das Nullpolynom die Folge $(0, 0, 0, \ldots)$.


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Magma93
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-27

Hallo ligning, vielen Dank für deine Ausführung. Jetzt habe ich es verstanden. $P(x)=0$ wäre auch ein Polynom, weil wir auch eine Summierung bilden können, und am Ende käme trotzdem $0$ heraus. Aus diesem Grund könnte man auch als Beispiel schreiben: $P(x)= \underbrace{a_0}_{a_0=0} x+\underbrace{a_1}_{a_1=0} x^2=0$ bzw. $P(x)=a_0 \underbrace{x^1}_{x=0} +a_1\underbrace{x^2}_{x=0} =0$. Das mit den Ringen muss ich mir noch anschauen, da es bisschen tiefer geht. Danke, dass ihr mir beigebracht habt, dass ein Polynom keine Funktion sei, wie anfangs fälschlicherweise behauptet.


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ZigarreMitBart
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-06-28

\quoteon $P(x)=0$ $P(x)=a_0 \underbrace{x^1}_{x=0} +a_1\underbrace{x^2}_{x=0} =0$. \quoteoff vielleicht nehme ich das ganze hier etwas zu ernst, aber ich bin mit dem, was du hier oben verfasst hast, noch nicht so ganz glücklich. Du muss nämlich bedenken, dass das Nullpolynom, die wir fortan mit $P_0$ bezeichnen werden, etwas anderes ist als $P(x)=a_0 \underbrace{x^1}_{x=0} +a_1\underbrace{x^2}_{x=0}=0$ Denn bei der Gleichung $P(x)=a_0x+a_1x^2=0$ ist die Gleichheit nur für bestimmte $x$ erfüllt, z.B. $x=0$ . Dies gilt allerdings nicht für das Nullpolynom. Die Zahl $x$ kann nämlich beliebig gewählt werden und am Ende gilt dennoch $P_0(x)=0$, ein wesentlicher Unterschied zu dem was da oben steht. Allgemein können zwar noch weitere Objekte in ein Polynom eingesetzt werden bspw Matrizen, weshalb man hier ungerne von einer Funktion spricht, aber wir beschränken uns auf Zahlen, da ich dich jetzt nicht zu sehr überfordern möchte. MfG ZigarreMitBart


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Magma93
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-28

Hallo ZIgarremitBard, danke dir. Das bestätigt meinen Gedankengang. Damit ist dieses Thema erledigt. \quoteon Denn bei der Gleichung $P(x)=a_0x+a_1x^2=0$ ist die Gleichheit nur für bestimmte $x$ erfüllt, z.B. $x=0$ . Dies gilt allerdings nicht für das Nullpolynom. Die Zahl $x$ kann nämlich beliebig gewählt werden und am Ende gilt dennoch $P_0(x)=0$, ein wesentlicher Unterschied zu dem was da oben steht. \quoteoff Genau, es gibt verschiedene Möglichkeiten um eine $0$ am Ende herauszubekommen.


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