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Universität/Hochschule J Eigenwertgleichung: Spektrum von Eigenwerten
Schokopudding
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  Themenstart: 2021-06-25

Hallo, ich habe eine Frage zu dieser Eigenwertgleichung: $$ \Psi_{xx}+(\lambda-u(x))\Psi=0,\qquad -\infty < x<\infty, $$ wobei angenommen wird, dass $u(x)$ integrierbar ist und $u(x)\to 0$ für $x\to\pm\infty$. Es wird gesagt (ich zitiere es): "The spectrum of eigenvalues, $\lambda$, is generally made up of two types corresponding to $\lambda>0$ and $\lambda\leq 0$." Wie ist gemeint? Später heißt es $\lambda>0$ wäre das "continuous spectrum". Ist das das stetige Spektrum aus der Theorie für Operatoren oder was Anderes, weil hier von "Spektrum der Eigenwerte" die Rede ist? Und was ist dann $\lambda\leq 0$? Ich bin maximal verwirrt. Grüße


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-25

Diese Gleichung ist eine stationäre Schrödingergleichung mit dem Potential $u$, und für eine derartige Gleichung "weiß man", dass das Spektrum in ein negatives Punktspektrum und ein nicht negatives kontinuierliches Spektrum zerfällt. (Und Spektrum ist dabei tatsächlich im Sinne des Spektrums eines Operators zu verstehen.) --zippy


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Schokopudding
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25

Hallo, ich weiß es leider nicht. 🥶 Hast du eine verständliche und nicht so physikalische Quelle dafür? Und warum nennt man $u$ eigentlich Potential (das ist wahrscheinlich physikalisch motiviert...). Grüße


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-25

\quoteon(2021-06-25 14:43 - Schokopudding in Beitrag No. 2) Hast du eine verständliche und nicht so physikalische Quelle dafür? \quoteoff Du kannst dir z.B. in diesem Skript die Einleitung und den Abschnitt 2.3 anschauen. \quoteon(2021-06-25 14:43 - Schokopudding in Beitrag No. 2) Und warum nennt man $u$ eigentlich Potential (das ist wahrscheinlich physikalisch motiviert...). \quoteoff So ist es: Deine Gleichung hat die Form $H\Psi=\lambda\Psi$ mit dem Hamiltonoperator $H=-\partial_x^2+u$, und der zweite Summand in so einem Hamiltonoperator ist physikalisch das Potential.


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Schokopudding
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25

Hallo und dankeschön für den Link und die Erklärung! Eine Anschlussfrage habe ich noch. In dem Buch, dass ich lese, steht noch, dass es den Eigenwert $\lambda=0$ nicht gibt, wenn $u(x)>0$ für alle $x$. Ist das etwas, das man sofort sieht (wenngleich ich es nicht tue...) oder ist das ebenfalls "bekannt", aber nicht trivial? Angenommen, dass $\lambda=0$ ein Eigenwert ist, dann hat man $$ \Psi_{xx}=u(x)\Psi. $$ Jetzt muss das irgendwie nicht stimmen können, wenn $u(x)>0$ für alle $x$. Viele Grüße


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-25

\quoteon(2021-06-25 17:56 - Schokopudding in Beitrag No. 4) Jetzt muss das irgendwie nicht stimmen können, wenn $u(x)>0$ für alle $x$. \quoteoff In dem von mir verlinkten Skipt wird das als Teil von Theorem 2.15 bewiesen. Wenn man sich aber um Definitionsbereiche und andere Feinheiten nicht kümmert, ist das leicht zu zeigen: Für $u(x)>0$ ist auch $\langle u\,\Psi,\Psi\rangle>0$. Andererseits ist$$ \langle u\,\Psi,\Psi\rangle = \langle\partial_x^2\,\Psi,\Psi\rangle = -\langle\partial_x\,\Psi,\partial_x\,\Psi\rangle = -\|\partial_x\,\Psi\|^2<0 \;,$$und das ist ein Widerspruch. (Beachte, dass $\partial_x$ antihermitesch ist.)


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Schokopudding
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25

Hallo, ok. In dem Link steht in Thm 2.15, dass das essentielle Spektrum $[0,\infty)$ ist. Ist damit das kontinuierliche Eigenwertspektrum gemeint? Ich kann da nicht raus lesen, dass 0 kein Eigenwert ist, wenn $u(x)>0$. Grüße Edit: Oder ist dieses Theorem unter der Annahme formuliert, dass $V\geq 0$? Dann würde das bedeuten, dass es keinen DISKRETEN Eigenwert 0 gibt. Was ich aber meinte, war: gar kein Eigenwert 0. Und das folgt wenn sogar $V>0$, also echt positiv und nicht, wie ich mal annehme, $V\geq 0$ wie in dem Theorem 2.15?


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-25

\quoteon(2021-06-25 20:44 - Schokopudding in Beitrag No. 6) Ich kann da nicht raus lesen, dass 0 kein Eigenwert ist, wenn $u(x)>0$. \quoteoff Tatsächlich sagt der Satz nur, dass 0 kein diskreter Eigenwert ist. Er schließt nicht aus, dass 0 ein Häufungspunkt ist. Um zu zeigen, dass 0 kein Eigenwert ist, musst du also meine Argumentation aus Beitrag Nr. 5 präzisieren.


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