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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Matrizen A,B ähnlich und...
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Universität/Hochschule Matrizen A,B ähnlich und...
medina067
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  Themenstart: 2021-06-27

Hallo, eventuell kann jemand bei folgender Aufgabe helfen: Matrizen A,B sind ähnlich und f(x) = sum(c_i*x^i,i=0,n) ein Polynom. Zeige: Wenn f(B)=0, genau dann ist f(A)=0. Vorab schon Danke für jede Hilfe, die angeboten wird. LG


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-27

Zeige zuerst $S\,f(X)\,S^{-1}=f(S\,X\,S^{-1})$. --zippy


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medina067
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-27

Vielen Dank, denke ich habe es gelöst. f(S*X*S^(-1)) = c_n(S*X*S^(-1))^n + ... + c_1*(S*X*S^(-1)) + c_0*I = c_n(S*X^n*S^(-1)) + ... + c_1(S*X*S^(-1)) + c_0*(S*I*S^(-1)) = S*(c_n*X^n + c_n-1*X^(n-1) + ... + c_1*X + c_0*I) *S^(-1) = S*f(X)*S^(-1) Außerdem gilt A^n = S*B^n*S^(-1) Induk.: A^1 = S*B*S^(-1) A^(n+1) = A*A^n = S*B*S^(-1)*S*B^n*S^(-1) = S*B*B^n*S^(-1) = S*B^(n+1)*S^(-1) Also f(A) = c_n*A^n + ... + c_1*A + c_0*I = c_n*(S*B^n*S^(-1)) + ... + c_1*(S*B*S^(-1)) + c_0*(S*I*S^(-1)) = S * (c_n*B^n + ... + c_1*B+c_0*I)*S^(-1) = S*f(B)*S^(-1) Für f(B) = 0 ist also f(A) = 0 LG


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-27

\quoteon(2021-06-27 17:51 - medina067 in Beitrag No. 2) A^(n+1) = A*A^n = S*B*S^(-1)*S*B^n*S^(-1) = S*B*B^n*S^(-1) = S*B^(n+1)*S^(-1) \quoteoff Wenn du das für beweisenswert hältst, hättest du eine analoge Überlegung bereits beim Beweis von $S\,f(X)\,S^{-1}=f(S\,X\,S^{-1})$ anstellen müssen. Wenn du das aber einmal gezeigt hast, musst du es nicht speziell für $A$ und $B$ wiederholen, sondern kannst aus $A=S\,B\,S^{-1}$ unmittelbar $f(A)=f(S\,B\,S^{-1})=S\,f(B)\,S^{-1}$ folgern.


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