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Funktionentheorie » Holomorphie » Komplexer Betrag nirgends differenzierbar, Beweis ohne CR-DGL
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Universität/Hochschule J Komplexer Betrag nirgends differenzierbar, Beweis ohne CR-DGL
Pter87
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  Themenstart: 2021-06-27

Hallo, ich wollte beweisen, dass der komplexe Betrag nirgends komplex differenzierbar ist, allerdings nicht mit der CR-DGL Methode sondern mit der Standarddefinition und irgendwie komme ich da nicht wirklich weiter. $\lim_{z \to z_0} \frac{|z|-|z_0|}{z-z_0}$ Ich kann die konvergente Folge nach $z_0$ ja so wählen, dass der Nenner rein imaginär oder real wird. Der Zähler hingegen ist ja immer real. Wenn ich ausschließen kann, dass der komplette Ausdruck gegen 0 geht, dann wäre ich doch fertig.


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jjzun
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-27

Hallo, ich glaube, es reicht aus \(z_0 = 0\) zu betrachten, sonst verkette mit der sicherlich holomorphen Funktion \(z-z_0\). Der Betrag ist gleich der Quadratwurzel aus z mal z komplex konjugiert. Hilft dir das etwas? Viele Grüße, jjzun


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-27

\quoteon(2021-06-27 21:50 - jjzun in Beitrag No. 1) ich glaube, es reicht aus \(z_0 = 0\) zu betrachten, sonst verkette mit der sicherlich holomorphen Funktion \(z-z_0\). \quoteoff Durch diese Verkettung kann man nicht auf magische Weise einen Zusammenhang zwischen der Differenzierbarkeit an zwei unterschiedlichen Stellen herstellen. \quoteon(2021-06-27 21:36 - Pter87 im Themenstart) Wenn ich ausschließen kann, dass der komplette Ausdruck gegen 0 geht, dann wäre ich doch fertig. \quoteoff Richtig. Und um das auszuschließen, kannst du eine Folge $z_n\to z_0$ mit$$ |z_n|-|z_0| = |z_n-z_0| $$betrachten. --zippy


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-27

\quoteon(2021-06-27 21:50 - jjzun in Beitrag No. 1) ich glaube, es reicht aus \(z_0 = 0\) zu betrachten \quoteoff Das reicht nicht, wenn man zeigen will, dass der Betrag nirgends komplex differenzierbar ist. LG Nico [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Pter87
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-01

Danke Zippy, das war der entscheidende Punkt. Hab es jetzt hinbekommen.


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