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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Wert einer Variable in LGS zwangsläufig 0?
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Universität/Hochschule J Wert einer Variable in LGS zwangsläufig 0?
bassschlumpf91
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  Themenstart: 2021-06-28

Hallo liebes Forum, ich bin neu hier. Ich bin Student an einer Universität und stehe kurz vor meinem Abschluss. Im Zuge dessen schreibe ich an einer wissenschaftlichen Arbeit. Teil dieser Arbeit ist ein lineares Gleichungssystem (LGS), was einen physikalischen Sachverhalt modellieren soll. Es zu erklären wäre etwas umständlich, auf Nachfrage kann ich dies aber auch gern tun. Für mein Problem sollte es allerdings unerheblich sein. Das LGS sieht folgendermaßen aus: \ \Delta M_high_f_1=\Delta M_high'_f_1+TF_f_1 \Delta M_high_f_2=\Delta M_high'_f_2+TF_f_2 \Delta M_low_f_1)=\Delta M_low'_f_1+TF_f_1 \Delta M_low_f_2=\Delta M_low'_f_2+TF_f_2 (\Delta M_high_f_1)/(\Delta M_high_f_2)=f_1/f_2 (\Delta M_low_f_1)/(\Delta M_low_f_2)=f_1/f_2 Bekannt sind: \ f_1; f_2; \Delta M_high'_f_1 ; \Delta M_high'_f_2 ; \Delta M_low'_f_1 ; \Delta M_low'_f_2 Sämtliche Bekannte und Unbekannte sind Skalare. Wenn ich dieses Gleichungssystem nach \ TF_f_2 umstelle, bekomme ich den Sachverhalt: TF_f_2 = (\Delta M_low'_f_1*\Delta M_high'_f_2-\Delta M_high'_f_2*\Delta M_low'_f_2*f_1/f_2+(\Delta M_high'_f_2)^2*f_1/f_2+\Delta M_high'_f_2*\Delta M_high'_f_1)/(\Delta M_low'_f_2*f_1/f_2-\Delta M_high'_f_2*f_1/f_2-\Delta M_low'_f_1+\Delta M_high'_f_1) was nach zusammenkürzen TF_f_2 = \Delta M_high'_f_2 entspricht. Dies kann ja nur erfüllt sein, wenn \Delta M_high_f_2 = 0 Dies wiederum würde sich allerdings mit meinem physikalischen Sachverhalt beißen. Meine Frage ist nun: 1. habe ich mich möglicherweise verrechnet? Ich weiß, dass ich gern mal zu Flüchtigkeitsfehlern neige, deswegen habe ich schon mehrmals nachgerechnet und auch jemand anderen drüber gucken lassen, wir kamen aber auf dasselbe Ergebnis. 2. Oder ist es so, dass unabhängig der exakten Werte der einzelnen Variablen sich LGS so ergeben können, dass ein Wert immer 0 ist? Verzeiht mir, wenn das sehr weit in die Grundlagen zurück geht, aber Mathe ist bei mir jetzt recht lang her, und ich erinnere mich potentiell an ein bestimmtes Gesetz nicht. Vielen Dank schon mal im Voraus!


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Sismet
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\IR}{\mathbb{R}} \newcommand{\IZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\IN}{\mathbb{N}} \newcommand{\IC}{\mathbb{C}} \newcommand{\ba}{\begin{align*}} \newcommand{\ea}{\end{align*}} \newcommand{\be}{\begin{equation*}} \newcommand{\ee}{\end{equation*}} \newcommand{\wo}{\backslash} \) Hey, \quoteon(2021-06-28 20:13 - bassschlumpf91 im Themenstart) TF_f_2 = \Delta M_high'_f_2 \quoteoff hier fehlt ein Minus auf der rechten Seite. Du solltest dir bewusst machen, dass dein Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist. Wenn man das Ganze etwas umschreibt so ist das LGS gegeben durch: $$ \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & \frac{-f_1}{f_2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{-f_1}{f_2} & 0 & 0 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix} h_1 \\ h_2 \\ l_1 \\ l_2 \\ T_1 \\ T_2 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} H_1 \\ H_2 \\ L_1 \\ L_2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right) $$ (hab deine Variablen etwas umbenannt, weil die Indizierung hier etwas unnötig ist). Die Matrix auf der linken Seite hat nur Rang 5, ist also nicht invertierbar und damit gibt es keine eindeutige Lösung sondern einen 1D-Lösungsraum. Löst man jetzt das LGS so erhält man: $$\Bigg\{ \left(\begin{matrix} \frac{H_2*f_1}{f_2}+\frac{f_1}{f_2}*T_2 \\ H_2+T_2 \\ \frac{H_2*f_1-H_1*f_2+L_1*f_2}{f_2}+\frac{f_1}{f_2}*T_2 \\ L_2+T_2 \\ \frac{H_2*f_1-H_1*f_2}{f_2}+\frac{f_1}{f_2}*T_2 \\ T_2 \end{matrix}\right)\in\IR^6| T_2\in\IR\Bigg\} $$ als Lösungsraum. Wählst du jetzt deinen freien Parameter $T_2=-H_2$ dann ist dass genau der Fall den du durch einsetzten gefunden hast. Ich denke aber, dass du dich irgendwo verrechnet hast, mir ist aber auch nicht klar wie du auf die Darstellung von $T_2$ kommst. Lös ein solch großes und doch so einfaches LGS lieber mit nem Gausverfahren oder ähnlichem. Hoffentlich hilft dir das etwas. Grüße Sismet\(\endgroup\)


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bassschlumpf91
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-29

Hallo Sismet, vielen Dank, dann weiß ich jetzt ja, woran ich bin. Ich muss also wohl noch versuchen, aus meinem Sachverhalt eine weitere Abhängigkeit der Variablen untereinander zu finden, die hoffentlich linear ist. Mit dem Minus hast du Recht, das hatte ich nur vergessen, hin zu schreiben. Danke auf jeden Fall für den Hinweis!


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