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Strukturen und Algebra » Moduln » Modulisomorphie 2
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Universität/Hochschule Modulisomorphie 2
kokosnusskopf
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  Themenstart: 2021-07-02

Wir haben ein Modul M sowie zwei Untermodule \(M_1\) und \(M_2\). Es gelte \(M = M_1 \oplus N_1\) für ein weiteres Untermodul \(N_1\) und p sei die Projektion auf \(N_1\), d.h. \(\text{im}(p) = N_1\) und \(\text{Ker}(p) = M_1\). Ausserdem gibt es einen Modulhomomorphismus \(\alpha: p(M_2) \to M_2\), sodass \(p \circ \alpha\) die Identität ist auf \(p(M_2)\). Warum gilt nun \(M_2 \cong (M_1 \cap M_2) \oplus p(M_2)\)?


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-02

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, zeige, dass $ % https://tikzcd.yichuanshen.de/#N4Igdg9gJgpgziAXAbVABwnAlgFyxMJZABgBpiBdUkANwEMAbAVxiRGJAF9T1Nd9CKAIzkqtRizYBZAPpCAOvIDGdNAAJZAJi48QGbHgJFNo6vWatEILTt4GBRAMynxFtmgAUWgJS29fQ0FkABYXc0krDk4xGCgAc3giUAAzACcIAFskMhAcCCQREAY6ACMYBgAFAIcrBhhknD80zILqPKQTVwiQLDAlBib0rMRO9sRnItLyqvsjWvrGswlLPQAfGWAtTkGW8bb8xGDoziA \begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & M_1\cap M_2 \arrow[r, "incl"] & M_2 \arrow[r, "p|_{M_2}"] & p(M_2) \arrow[r] & 0 \end{tikzcd} $ eine spaltende exakte Sequenz ist.\(\endgroup\)


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kokosnusskopf
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-02

\quoteon(2021-07-02 11:56 - Nuramon in Beitrag No. 1) Hallo, zeige, dass $ % https://tikzcd.yichuanshen.de/#N4Igdg9gJgpgziAXAbVABwnAlgFyxMJZABgBpiBdUkANwEMAbAVxiRGJAF9T1Nd9CKAIzkqtRizYBZAPpCAOvIDGdNAAJZAJi48QGbHgJFNo6vWatEILTt4GBRAMynxFtmgAUWgJS29fQ0FkABYXc0krDk4xGCgAc3giUAAzACcIAFskMhAcCCQREAY6ACMYBgAFAIcrBhhknD80zILqPKQTVwiQLDAlBib0rMRO9sRnItLyqvsjWvrGswlLPQAfGWAtTkGW8bb8xGDoziA \begin{tikzcd} 0 \arrow[r] & M_1\cap M_2 \arrow[r, "incl"] & M_2 \arrow[r, "p|_{M_2}"] & p(M_2) \arrow[r] & 0 \end{tikzcd} $ eine spaltende exakte Sequenz ist. \quoteoff Ich weiss garnicht, was es heißt, dass diese Sequenz eine spaltende Sequenz ist und inwiefern mir das helfen soll. Kannst du mit deiner Idee ein bisschen ins Detail gehen?


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