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Universität/Hochschule Gleichung im Restklassenring lösen
Erdbeere99
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  Themenstart: 2021-07-06

Bestimmt werden soll die Lösung der Gleichung x³ = 1 in ℤ/nℤ, wobei n ∈{61, 62, 63, 64}. Wie kann ich diese Aufgabe lösen? Es wäre ziemlich aufwendig für jedes Element aus ℤ/nℤ die Rechnung durchzuführen. Kann mir jemand helfen?


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ochen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-06

Hallo, na ja, $x=1$ ist wohl immer eine Lösung. Die Gleichung ist äquivalent zu \[ (x-1)(x^2+x+1)=0. \] Für primes $n$ ist $\mathbb Z/n\mathbb Z$ nullteilerfrei.


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Erdbeere99
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-06

Und wie gehe ich jetzt vor?


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Erdbeere99
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-06

Ich weiß nicht, wie ich rechnen soll. Kannst du mir das an einem Beispiel erklären? 61 ist auch die einzige Primzahl, also bei den anderen geht es ja dann nicht so, oder?


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ochen
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-07-06

Beginnen wir mit $n=61$. Dann folgt $x=1$ oder $x^2+x+1=0$ aus $x^3=1$. Für $x\neq 1$ muss also $x^2+x+1=0$ gelten. Bleiben wir mal in den ganzen Zahlen statt im Restklassenring. Für $-8\leq x\leq 7$ gilt $0


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Triceratops
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-06

Dieser Artikel könnte dir weiterhelfen: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1518 (Hier sind nicht nur im Körper im Spiel, aber vom Prinzip her sollte man auch anerkennen, dass die Ringtheorie nicht nur für Zahlenringe funktioniert.)


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endy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-07-07

Hallo. Für $n=61$ sieht die Rechnung mit dem Artikel dann etwa folgendermaßen aus: $ x^2+x+1=0 \iff x= - \frac 1 2 + \sqrt{- \frac 3 4 } ​\iff x= 30 + \sqrt{- \frac 3 4 } $ $\iff x=30+17=47 \lor x=30-17=13 $ Gruss endy ​


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