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Ausbildung J 1+2+3+...
monarch87
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  Themenstart: 2021-07-19

Hallo, ich habe nun mehrere Möglichkeiten zur Aufsummierung aller natürlichen Zahlen mitbekommen. Darunter sind auch: 1+2+3+... = - 1/12 und 1+2+3+... = 1/9 Nun dachte ich über diese Möglichkeit nach: m=1+2+3..... m=1+(1+1)+(1+1+1).... m=1+1+1+1+1+1... m-m= +(1+1+1+1.... -(+1+1+1+1... =+1-1+1-1+1-1.... =1/2 m=1/2 funktioniert das? Schöne Grüße


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-19

Hallo, das ist der übliche Unfug der entsteht, wenn man beim Rechnen mit unendlichen Reihen die Regeln nicht beachtet. Besorge dir irgendein geeignetes Grundlagenwerk der Höheren Mathematik und studiere das mal gründlich. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Zahlentheorie' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]


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monarch87
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

\quoteon(2021-07-19 15:44 - Diophant in Beitrag No. 1) Hallo, das ist der übliche Unfug der entsteht, wenn man beim Rechnen mit unendlichen Reihen die Regeln nicht beachtet. Besorge dir irgendein geeignetes Grundlagenwerk der Höheren Mathematik und studiere das mal gründlich. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Zahlentheorie' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant] \quoteoff Hallo, ist denn m=1+2+3..... m=1+(1+1)+(1+1+1).... m=1+1+1+1+1+1... möglich? Viele Grüße


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-03

\quoteon(2021-08-03 16:25 - monarch87 in Beitrag No. 2) ist denn m=1+2+3..... m=1+(1+1)+(1+1+1).... m=1+1+1+1+1+1... möglich? \quoteoff "Ein Leben ohne Mops ist möglich, aber sinnlos." (Loriot) Ganz genauso verhält es sich hier auch. Gruß, Diophant


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Hans-Juergen
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-08-03

Hier ein schon älterer Artikel auf dem MP zum gleichen Thema


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-04

Hallo monarch87, in diesem Zusammenhang ist eventuell auch Ramanujan summation interessant. LG Nico


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monarch87
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-05

\quoteon(2021-08-03 16:41 - Diophant in Beitrag No. 3) \quoteon(2021-08-03 16:25 - monarch87 in Beitrag No. 2) ist denn m=1+2+3..... m=1+(1+1)+(1+1+1).... m=1+1+1+1+1+1... möglich? \quoteoff "Ein Leben ohne Mops ist möglich, aber sinnlos." (Loriot) Ganz genauso verhält es sich hier auch. Gruß, Diophant \quoteoff \quoteon(2021-08-04 09:37 - nzimme10 in Beitrag No. 5) Hallo monarch87, in diesem Zusammenhang ist eventuell auch Ramanujan summation interessant. LG Nico \quoteoff Hallo, Danke, ist denn das nicht das Gleiche, was ich hier anfrage? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/29753_Ramanuan_Series.png Viele Grüße


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Diophant
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-08-05

Zitat aus dem ersten Abschnitt der betreffenden Wikipedia-Seite: Although the Ramanujan summation of a divergent series is not a sum in the traditional sense... Gruß, Diophant


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nzimme10
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-08-05

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo Monarch87, du musst eben aufpassen was überhaupt mit dem Gleichheitszeichen gemeint sein soll. Ein Ausdruck wie $$ 1+2+3+4+\dots=-\frac{1}{12} $$ ergibt einfach so erstmal keinen Sinn. Was man mit "$=$" meint muss man also zunächst einmal definieren. Der "klassische" Konvergenzbegriff in der Analysis wäre der folgende: $\textbf{Definition.}$ Sei $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ eine Folge (reeller) Zahlen. Dann heißt die Folge der Partialsummen $$ \sum_{n=1}^\infty a_n:=\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb N} $$ eine (unendliche) Reihe. Man sagt, dass solch eine Reihe gegen eine reelle Zahl $a\in \mathbb R$ konvergiert, und schreibt dafür (eigentlich etwas ungünstig) $$ \sum_{n=1}^\infty a_n=a, $$ wenn die Folge der Partialsummen $\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb N}$ gegen $a$ konvergiert (im Sinne der Konvergenz einer reellen Zahlenfolge). Geht man von dieser Definition der Konvergenz aus, so ist das was du machst schlichtweg falsch. Die Ramanujan Summation ist eben eine andere Möglichkeit Reihen einen (sinnvollen?) Wert zuzuordnen und stimmt mit der klassischen Definition von oben nicht unbedingt überein! Du musst also bei solchen Fragen etwas vorsichtiger sein und dir klar machen, was du überhaupt mit so einem Gleichheitszeichen meinst. LG Nico\(\endgroup\)


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monarch87
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-12

\quoteon(2021-08-03 22:06 - Hans-Juergen in Beitrag No. 4) Hier ein schon älterer Artikel auf dem MP zum gleichen Thema \quoteoff Danke, inwieweit sind denn Umordnungen möglich? Solang es Sinn ergibt? Liebe Grüße


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monarch87
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-12

\quoteon(2021-08-05 16:52 - nzimme10 in Beitrag No. 8) Hallo Monarch87, du musst eben aufpassen was überhaupt mit dem Gleichheitszeichen gemeint sein soll. Ein Ausdruck wie $$ 1+2+3+4+\dots=-\frac{1}{12} $$ ergibt einfach so erstmal keinen Sinn. Was man mit "$=$" meint muss man also zunächst einmal definieren. Der "klassische" Konvergenzbegriff in der Analysis wäre der folgende: $\textbf{Definition.}$ Sei $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ eine Folge (reeller) Zahlen. Dann heißt die Folge der Partialsummen $$ \sum_{n=1}^\infty a_n:=\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb N} $$ eine (unendliche) Reihe. Man sagt, dass solch eine Reihe gegen eine reelle Zahl $a\in \mathbb R$ konvergiert, und schreibt dafür (eigentlich etwas ungünstig) $$ \sum_{n=1}^\infty a_n=a, $$ wenn die Folge der Partialsummen $\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n\in \mathbb N}$ gegen $a$ konvergiert (im Sinne der Konvergenz einer reellen Zahlenfolge). Geht man von dieser Definition der Konvergenz aus, so ist das was du machst schlichtweg falsch. Die Ramanujan Summation ist eben eine andere Möglichkeit Reihen einen (sinnvollen?) Wert zuzuordnen und stimmt mit der klassischen Definition von oben nicht unbedingt überein! Du musst also bei solchen Fragen etwas vorsichtiger sein und dir klar machen, was du überhaupt mit so einem Gleichheitszeichen meinst. LG Nico \quoteoff Hallo, ich versteh den Zusammenhang der hier vorliegenden Definition in meinem Kontext gerade nicht. Liebe Grüße


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Diophant
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-08-12

Um beide Fragen kurz und knapp zu beantworten: man kann eine unendliche Reihe umordnen, ohne dass sich der Reihenwert ändert, wenn sie absolut konvergent ist. Das ist bei deinen Beispielen aber nicht der Fall. Gruß, Diophant


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nzimme10
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-08-13

\quoteon(2021-08-12 21:39 - monarch87 in Beitrag No. 10) ich versteh den Zusammenhang der hier vorliegenden Definition in meinem Kontext gerade nicht. \quoteoff Ich habe dir versucht zu erklären, wie man typischerweise die Konvergenz einer unendlichen Reihe in der Analysis definiert und dass diese Definition eben mit deinen Aussagen im Themenstart unvereinbar ist. Das habe ich unter anderem deshalb versucht, da die Ramanujan Summation eben nicht unbedingt mit dieser klassischen Definition übereinstimmt. LG Nico


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Ixx
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-08-13

Also, wenn man sich genügend verbiegt, dann kann man solchen Formeln durchaus einen Sinn zuweisen: Die klassische Definition der Riemannschen Zeta-Funktion ist $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$. Diese Reihe konvergiert aber nur, wenn der (Realteil von) $s$ größer als 1 ist. Durch Funktionalgleichungen kann man nun diese Funktion analytisch fortsetzen auf die gesamte komplexe Zahlenebene (mit Ausnahme des Punkts $s=1$, wo die FUnktion eine Polstelle hat). Und für diese allgemeinere Funktion kann man dann Werte ausrechnen wie $\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$ oder $\zeta(-2)=0$. Setzt man dies nun in die eigentlich nur für $s>1$ gegebene Reihendefinition ein, erhält man eben $-\frac{1}{12}=\zeta(-1)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{-1}}=\sum_{n=1}^{\infty} n=1+2+3+\dots$ bzw. analog $0=\zeta(-2)=1+4+9+16+\dots$ Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass man hierbei den Fehler begeht, die Beschreibung der Zeta-Funktion als solche Reihe, die nur für $s>1$ erfüllt ist, außerhalb des Gültigkeitsbereichs anwendet. Die Funktion ist zwar auch an den Stellen -1 und -2 wohldefiniert, dann aber nicht mehr durch diese Reihe. Terrence Tao spielt übrigens hier in einem Blogeintrag genau mit diesen "Reihen". [Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


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monarch87
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\quoteon(2021-08-12 22:58 - Diophant in Beitrag No. 11) Um beide Fragen kurz und knapp zu beantworten: man kann eine unendliche Reihe umordnen, ohne dass sich der Reihenwert ändert, wenn sie absolut konvergent ist. Das ist bei deinen Beispielen aber nicht der Fall. Gruß, Diophant \quoteoff Abend, achso, vielen Dank. Grüße


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