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Kein bestimmter Bereich J ** Grenzwertig XI
Squire
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Dabei seit: 18.08.2015
Mitteilungen: 735
  Themenstart: 2021-07-20

Bestimme $\displaystyle \int_1^\infty \frac{\{x\}}{x^n}dx$, wobei $\displaystyle n$ eine natürliche Zahl größer 2 und $\displaystyle \{x\}$ der Nachkommaanteil (fractional part) sind. Bonusfrage 1: Bestimme $\displaystyle \int_1^\infty \frac{\{x\}}{x^2}dx$ Bonusfrage 2: Bestimme $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \int_1^n \frac{\{x\}}{x}dx-\frac{\ln{n}}{2} \right)$ Viel Freude mit den Aufgaben; Lösungen bitte wie immer mit PN. Grüße Squire


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Squire
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 18.08.2015
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-23

Ich gratuliere Kuestenkind ganz herzlich zur richtigen (Gesamt-)Lösung und stupse gleichzeitig an. Schönes Wochenende und Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-27

Gratulation und Dank für die freundlichen Rückmeldungen an wrdlprmpfd Wauzi MartinN Weitere Lösungen willkommen! Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-17

Lösung Teil 1: \showon $\displaystyle \int_1^\infty \frac{\{x\}}{x^n}dx,n>2=\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N \int_k^{k+1} \frac{x-\left \lfloor {x}\right \rfloor}{x^n}dx=\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N \left( \int_k^{k+1} \frac{dx}{x^{n-1}}-\int_k^{k+1} \frac{k}{x^n}dx \right)=$ $\displaystyle =\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N \left(\frac{1}{(n-2)k^{n-2}}-\frac{1}{(n-2)(k+1)^{n-2}}-\frac{k}{(n-1)k^{n-1}}+\frac{k}{(n-1)(k+1)^{n-1}} \right)=$ $\displaystyle =\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N \left(\frac{1}{(n-2)k^{n-2}}-\frac{1}{(n-2)(k+1)^{n-2}}-\frac{1}{(n-1)k^{n-2}}+\frac{1}{(n-1)(k+1)^{n-2}}-\frac{1}{(n-1)(k+1)^{n-1}} \right)=$ (Teleskopsumme) $\displaystyle =\frac{1}{n-2}-\frac{\zeta(n-1)}{n-1}$ \showoff Weitere Lösungsvorschläge können ab sofort gerne offen gepostet werden. Lösung der Bonusfragen folgt. Grüße Squire


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Squire
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-17

Bonus 1: \showon $\displaystyle \int_1^\infty \frac{\{x\}}{x^2}dx=\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N \int_k^{k+1} \frac{x-\left \lfloor {x}\right \rfloor}{x^2}dx=\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N \left( \int_k^{k+1} \frac{dx}{x}-\int_k^{k+1} \frac{k}{x^2}dx \right)=$ $\displaystyle =\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N \left( \ln(k+1)-\ln{k}+\frac{k}{k+1}-\frac{k}{k} \right)=\lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^N \left( \ln(k+1)-\ln{k}-\frac{1}{k+1} \right)=$ (Teleskopsumme) $\displaystyle =\lim_{N \to \infty} \left( \ln(N+1)-H_{N+1}+1 \right)=1-\gamma$ \showoff


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Squire
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-17

Bonus 2: \showon $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \int_1^n \frac{\{x\}}{x}dx-\frac{\ln{n}}{2} \right)=...=\lim_{n \to \infty} \left( n-1-n\ln{n}+\ln{n!}-\frac{\ln{n}}{2} \right)=$ (Stirling-Formel) $=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( n-1-n\ln{n}+\ln{\sqrt{2\pi n}}+n\ln{n}-n-\frac{\ln{n}}{2} \right)=\frac{\ln{2\pi}}{2}-1$ \showoff


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Squire hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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