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Mathematik » Stochastik und Statistik » Laienfrage: geometrische(?) Wahrscheinlichkeit
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Kein bestimmter Bereich Laienfrage: geometrische(?) Wahrscheinlichkeit
RandomHH
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  Themenstart: 2021-07-20

Guten Tag in die Runde! Ich hoffe, hier hat jemand Zeit und Lust, sich mit einer Frage zu beschäftigen, deren Antwort mir ein Argument in der Diskussion einer Theorie (nicht meine!) liefern könnte. Die Frage (falls eine Berechnung überhaupt möglich ist): Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 in einer Fläche unregelmäßig verteilten Punkten 26 Punkte durch rechtwinklige Dreiecke verbunden werden können? Und – falls das nicht zu viel gefragt ist – wie würde sich die Wahrscheinlichkeit verändern, wenn mehr als 30 Punkte für eine entsprechende Verbindung von 26 Punkten zur Auswahl stünden? Es geht übrigens um eine mögliche großräumige Landvermessung der Römer. Es geht um Zufall oder absichtsvolle Geometrie. Wobei ich eher Zufall vermute. LG Barbara


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-20

Damit zwei gegebene Punkte zusammen mit einem dritten Punkt die Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks bilden, muss dieser dritte Punkt auf einer von zwei Geraden liegen. Da diese beiden Geraden zusammen die Fläche 0 abdecken, ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall auch 0, wenn die Punkte unabhängig verteilt sind und die Verteilung eines einzelnen Punktes eine Dichte besitzt. An diesem Argument ändert sich nichts Wesentliches, wenn man zu deiner etwas komplizierteren Fragestellung übergeht. Um zu einer sinnvollen Fragestellung (im Hinblick auf "Zufall oder absichtsvolle Geometrie") zu kommen, musst du "drei Punkte bilden die Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks" durch "drei Punkte bilden näherungsweise die Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks" ersetzen und das "näherungsweise" genauer spezifizieren. --zippy


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RandomHH
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-20

Hallo zippy, vielen Dank für deine schnelle Antwort! Leider bin ich mathematisch zu unbeleckt, um eine sinnvoll formulierte Frage stellen zu können. Aber vielleicht kann kann das „"illustrierte“ Problem zu einer Antwort verhelfen. Verbunden sind hier römische Stützpunkte mit rechtwinkligen Dreiecken. Liegt hier ein Fall von absichtvoller Geometrie vor (großräumige Landvermessung, was bisher noch nicht dokumentiert werden konnte), oder handelt es sich um Zufall, weil es durchaus noch weitere (zum Teil noch nicht gefundene) Stützpunkte gibt. Ich halte das für Zufall, da ich auf einer Karte aller Hansestädte auf Anhieb immerhin über ein Dutzend rechtwinklige Dreiecke konstruieren konnte, bevor ich aus Zeitmangel aufgehört habe. http://virtuell-online.de/dreiecke-karte.jpg


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-22

Das Bild zeigt, dass du bereits irgendeine Definition von "näherungsweise rechtwinklig" benutzt hast, um hier Rechtecke einzuzeichnen. Da die Anzahl der Rechtecke, die man in einem vorgegebenen Bild findet, empfindlich von dieser Definition abhängt, musst du als ersten Schritt mal deine Definition aufschreiben. Du könntest beispielsweise sagen "wenn es eine Winkel zwischen $89^\circ$ und $91^\circ$ gibt". Der zweite Schritt besteht darin, dass du deine Annahmen über die Verteilung der Punkte formulierst. Du könntest beispielsweise annehmen, dass die Punkte unabhängig voneinander in einem Quadrat gleichverteilt sind. Sobald du diese beiden Schritte erledigt hast, kann man ohne großen Aufwand eine Simulation starten, die die dich interessierende Wahrscheinlichkeit ermittelt.


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Kitaktus
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-07-22

\quoteon(2021-07-20 23:05 - zippy in Beitrag No. 1) Damit zwei gegebene Punkte zusammen mit einem dritten Punkt die Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks bilden, muss dieser dritte Punkt auf einer von zwei Geraden liegen. \quoteoff Kleine Ergänzung: der dritte Punkt kann auch auf dem Thaleskreis liegen. Ich schreibe mal ein kleines Programm, dass für zufällig gewählte Punkte ermittelt, wie viele von ihnen an "nährungsweise rechtwinkligen" Dreiecken beteiligt sind. Das ist dann schon ein gutes Indiz, ob "Absicht" überhaupt notwendig ist.


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haribo
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-22

\quoteon(2021-07-20 23:05 - zippy in Beitrag No. 1) Damit zwei gegebene Punkte zusammen mit einem dritten Punkt die Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks bilden, muss dieser dritte Punkt auf einer von zwei Geraden liegen. --zippy \quoteoff oder auf dem taleskreis, wenn der rechte winkel im dritten punkt liegt, macht evtl. drei linien pro punkte paar? bin nicht sicher ob dieser gedanke richtig war egal auch bei deinen zwei linien hat man 2 x 29! linienmöglichkeiten, oder ? das sind ziemlich viele zeichnet man die 30 punkte auf ein A4 blatt und dann 2 x 29! linien dazu mit einem 0.2 mm bleistifft da dürfte das blatt ziemlich dicht bemahlt sein kaum zu glauben dass es da doch noch 4 punkte im leeren bereichen geben könnte, ich tendiere alse eher zu 100% warscheinlichkeit als antwort https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_linien.png ich zeichne das mal für 4 punkte auf... und schon hier kann ich den ersten rechten winkel legen weil der gelbe kreis durch drei orte geht (also bei dieser meiner grossen punktgrösse jedenfals) 3 x 3! ist nur 18 2 X 29! wäre eher 2^31... sicherlich ist es eine frage der strichstärke, bzw wie gross ein ort auf einer karte dargestellt wird haribo hm: - ist es nicht eher die frage sein wie hoch theoretisch die graphitberge werden durch dann derartig viele linien überschneidungen?; - oder wie viele weltjahresproduktionen bleistifte bräuchte man für 2^31 linien? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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haribo
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-07-22

kitaktus, nochmal nachgedacht, wenn der dritte punkt auf dem tahleskreis zwischen 1 und 2 liegt dann liegt 2 (oder 1) gleichzeitig auf der rechtwinkligen linie zwischen 1 und 3 (oder halt 2 und 3) anders ausgedrück: man kann auch nur alleine die 29! thaleskreise nehmen, das halbiert den graphitverbrauch ungefähr haribo


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haribo
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-07-22

dein program sollte also suchen wie gross der grösste ort ist (grösstmöglicher kreis in eine noch freie fläche) wenn man 29! kreise auf eine definiert grosse landkarte zeichnet, dann kann man die linienstärke der kreise als unendlich dünn belassen und nur der ort hat eine ausdehnung wie es ja auch in römerzeiten der fall war bei 30 orten ist es weder zufall noch absicht sondern einfach eine geometrie frage: wie groß ist das gebiet und wie gross oder klein demgegenüber ein stützpunkt


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Kitaktus
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-07-22

So, ich habe das mal programmiert. Ich schaue mir folgendes an: 30 Punkte werden zufällig im Einheitsquadrat verteilt. Von allen Dreiecken, an denen ein Punkt P beteiligt ist, suche ich das, das am nächsten an einem rechtwinkligen Dreieck dran ist. Diese "kleinste Abweichung" notiere ich mir und schaue dann, wie groß sie für die 26 besten Punkte ist. Ich komme da im Schnitt auf einen Wert von 0,18°. Selbst für den "schlechtesten" Punkt komme ich auf eine durchschnittliche "kleinste Abweichung" von nur 0,4°. Fazit: Mit ziemlich großer Wahrscheinlichkeit sind fast alle von 30 zufällig gewählten Punkten an einem Dreieck beteiligt, dessen größter Winkel um weniger als 0,5° von einem rechten Winkel abweicht. Bei 100 Versuchen galt die 89 mal für alle Punkte und 11 mal für alle bis auf einen. "Absicht" bei der Wahl der Standorte ist also absolut nicht nötig, um die Beobachtung zu erklären.


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RandomHH
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-22

Liebe Leute, ganz großen Dank für eure Mühe! Ich kann nicht sagen, dass ich (jetzt beim ersten Lesen) die Erläuterungen alle verstanden habe. Aber wenn ich das Ergebnis richtig verstanden habe, dann bestätigt sich meine Vermutung, dass es sich um Zufall handelt, dass mit diesen rechtwinkligen Dreiecken die "Theorie einer (geplanten!) großräumigen Landvermessung durch die Römer" nicht gestützt werden kann. Richtig? Besonderen Dank deshalb an Kitaktus für die Mühe einer Programmierung des Problems! Liebe Grüße Barbara


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haribo
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  Beitrag No.10, eingetragen 2021-07-22

mein ansatz mit fakultät ist falsch, viel mir gerade beim spazieren ein es gilt die gaußsche summenformel, damit sind alle meine graphit-überlegungen hinfällig bei 30 punkten sind das dann nur noch (oder immer noch) 29+28+27+...+2+1 = (29²+29)/2 = 435 thales kreise die andere überlegung bleibt aber bestehen, 435 verschiedene kreise auf ein A4 papier gemalt lässt auch immer noch nur ziemlich kleine flächen über, nur in denen dann noch ein entsprechend kleiner ort liegen könnte ohne mit anderen ein rechtwinkliges dreieck zu bilden @barbara, den begriff "zufall" als erklärung finde ich dafür trotzdem nicht richtig, es ist eher eine (un-)warscheinlichkeit, bzw wirklich ein letztlich geometrischer zusammenhang der drei grössen (gesamtfläche, anzahl punkte, zu einzelgrösse jeden ortes) aber deine folgerung erscheint mir richtig, es kann damit keine rechtwinkligkeits planung nachgewiesen werden rund 400 kreise über ein quadrat gelegt wird so ein enges netz: https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_linien2.png kein weiterer ort dürfte einen der kreise mit irgend einem teil seiner grundfläche berühren, und wenn man kleine rechtwinkligkeitsabweichungen zulässt bekommt letztlich jeder kreis eine dickere strichstärke, die zwischenräume werden dadurch noch enger bis es gar keine mehr gibt


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RandomHH
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-22

@haribo, auch dir ein Extra-Dank für diese Visualisierung (und die Erklärung zum Unterschied von Zufall und Un-Wahrscheinlichkeit)! Für mich als mathematisch Unbegabte (aber intuitiv Begabte) sind solche Veranschaulichungen sehr hilfreich. LG Barbara


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haribo
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-07-22

aber du weist ungefähr was ein thaleskreis ist? "satz des thales"


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RandomHH
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-22

Ohne jetzt Wikipedia zu bemühen: Punkt umlaufend auf Halbkreis?


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haribo
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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-07-22

ja, auf ganz kreis nicht nur halbkreis


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RandomHH
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-22

Ja klar, ist logisch. darüber habe ich beim Antworten nicht nachgedacht, nur mein bildgedächtnis benutzt.


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haribo
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  Beitrag No.16, eingetragen 2021-07-22

wenn man die winkelgenauigkeit verändert, also beispielsweise von 89° bis 91° zulässt, dann wird aus dem gelben thaliskreis dieser bereich (pink+rot) also genaugenommen nicht eine linienverbreiterung sondern zwei leicht sichelförmige flächen, alle punkte innerhalb der farbigen flächen hätten also winkel zu A und B zwischen 89° bis 91° https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_linien3.png mit 400 solchen sichel-kreisen wäre dann wirklich kein fleck mehr frei im visualisierten bild aus #10


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RandomHH
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-22

@haribo Danke für diese Präzisierung! LG Barbara


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haribo
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  Beitrag No.18, eingetragen 2021-08-02

oh jupiter, random du hast es wirklich schwer wenn auf die frage "wie eine vermessung stattgefunden hat?" die antwort kommt: "indem vorher eine umfangreiche vermessung stattgefunden hat" und davor?, eine noch umfassendere??? da ist honig und met verloren evtl kann man doch mit der anzahl der möglichen dreiecke(winkel) von einem punkt zu weiteren 29 argumentieren: wählt man von einem punkt aus einen anderen punkt als einen richtung des winkels dann kann man zu 28 weiteren punkten einen winkel ermitteln, macht 28 mögliche winkel wählt man als erste richtung einen zweiten anderen ort aus dann verbleiben für diesen startrichtung nur noch 27 weitere als winkel, der zum ersten ort wäre ja jetzt doppelt genommen ... usw macht 28+27+26+25+...+3+2+1=406 mögliche winkel von jedem(!) ort aus winkel im inneren eines dreiecks können nur werte von 0 bis 180° annehmen rundet man sie ganzzahlig auf wird also bei gleichmässiger verteilung jeder winkel schon auf grund dieser anzahl von möglichen winkeln etwas öfters als 2 mal vorkommen weil 406/180=2,2 ist möge er doch mal 30 sterne am himmel auswählen und erklären wiso in den verbindungslinien dort genau so viele rechte winkel vorkommen, und was man daraus dann ableiten kann lg haribo


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RandomHH
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  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-02

Danke, haribo, für Mitleid! Und ich fürchte, auch weder mein (dilettantischer) Versuch eines Sokratischen Dialogs noch die Frage nach den geometrischen Absichten eines Sternenerbauers wird irgendetwas in diesem Kopf bewegen. Seufz… LG Barbara


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haribo
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  Beitrag No.20, eingetragen 2021-08-02

das schöne an den sternen ist dass, wenn der sternenerbauer zufällig nicht ein erdling gewesen wäre die winkel völlig anders wären... penrosedreiecke sind ja bekanntlich auch rechtwinklig an jeder ecke https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/02/Penrose_dreieck.png


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RandomHH
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  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-02

😄


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haribo
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  Beitrag No.22, eingetragen 2021-08-03

hab 6 weitere fast rechte winkel gefunden... einfach so aus spass, oder weil es bei 15 punkten eben auch schon 100 taleskreise gibt https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_linien4.PNG


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zippy
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  Beitrag No.23, eingetragen 2021-08-03

\quoteon(2021-08-03 16:56 - haribo in Beitrag No. 22) hab 6 weitere fast rechte winkel gefunden... \quoteoff Das zeigt, dass es wirklich darauf ankommt, wie man "fast" definiert. In deinem Beispiel liegen die Ecken der fast rechtwinkligen Dreiecke und die der tatsächlich rechtwinkligen immerhin etwa 5 km auseinander. Ich habe keine Ahnung, ob das für einen römischen Landvermesser viel oder wenig ist.


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RandomHH
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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

@haribo Um Himmels Willen, dass er das bloß nicht sieht! Dann wird er übermütig! zippy schrieb: "Ich habe keine Ahnung, ob das für einen römischen Landvermesser viel oder wenig ist." Laut Threadersteller scheinen große Distanzen kein Problem zu sein. ;)


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zippy
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  Beitrag No.25, eingetragen 2021-08-03

\quoteon(2021-08-03 19:45 - RandomHH in Beitrag No. 24) Laut Threadersteller scheinen große Distanzen kein Problem zu sein. ;) \quoteoff Es geht nicht um die Distanzen, sondern um die erreichbare Präzision.


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RandomHH
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  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

Ah... falsch verstanden, sorry. Aber der Threadersteller würde über diese zusätzlichen Funde von haribo wohl sehr erfreut sein. Denn für seine Theorie, die Römer hätten wirklich großräumig mit rechtwinkligen (+-1°) Dreiecken vermessen (siehe Grafik im Beitrag Nr. 2), bringt er ständig neue Beispiele – ohne Fragen nach Nutzen und konkreter konkreter Vorgehensweise bei einer derartigen Vemessung hinreichend erklären zu können. Er scheint zu meinen, dass seine Funde "Beweis" genug sind. Zitat: "Was braucht man einen Statistiker, wenn nahezu alle bekannten augusteischen Standorte an den bislang identifizierten rechten Winkeln beteiligt sind?" Tja...


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RandomHH
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  Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

Hier der Link zu dieser Diskussion (mit inzwischen 265 Kommentaren): https://forum.archaeologie-online.de/discussion/4937/neues-zu-den-augusteischen-roemerstuetzpunkten-in-mitteleuropa


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haribo
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  Beitrag No.28, eingetragen 2021-08-03

Die Frage der Kartendarstellungsart dürfte bei den Entfernungen auch etliche km Abweichungen rechtfertigen. Und ich nehme erstmal nicht an das römische Landkarten damals winkeltreu abbildeten.. Ich weiß nichtmal ob oder welcher Erddurchmesser damals berücksichtigt wurde, obwohl es ja möglich währe dass orientalische Geometrie ganz gut bekannt war in Rom? Gibt es dazu gute Aussagen? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]


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RandomHH
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  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

Genau kann ich deine Fragen nicht beantworten, weil ich im Thread häufig diagonal gelesen habe. Aber das kann ich mitteilen: Landkarten in unserem heutigen Sinne sind aus der Römerzeit nicht bekannt. Lediglich ‚Straßenkarten‘: https://de.wikipedia.org/wiki/Tabula_Peutingeriana Für die Theorie benutzt wurden anfangs nur Geodaten von bekannten römischen Lagern/Standorten. Inzwischen ergänzt durch ‚natürliche‘ Vermessungspunkte (Berge), was noch mehr Dreiecke ergibt. ob der Erddurchmesser Berücksichtigung erfahren haben könnte, weiß ich nicht. Über Auswirkungen auf die Theorie habe ich aber auch schon nachgedacht. LG Barbara


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haribo
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  Beitrag No.30, eingetragen 2021-08-04

letztlich ist die erde eben doch ne kugel und jede landkarte also eine abbildung einer kugeloberfläche, was nicht ohne verzerrungen gehen kann als etwas zu grosses aber einfaches beispiel: leg einen rechten winkel auf den nordpol, verlänger beide schenkel geradeaus also entlang von jeweils längengeraden bis zum äquator, bieg dort rechtwinklig ab (aufeinander zu) dann hat man ein (spährisches-) (sogar gleichseitiges-) dreieck pol-äquator-äquator mit drei rechten winkeln, die innenwinkelsumme dieses dreiecks ist also 3 x 90° = 270° (spasseshalber: 270° genau wie beim penrose-dreieck aus #20) in jedem 2D dreieck dagegen beträgt die winkel-innen-summe exakt 180° bei erdoberflächendreiecken über mehrere hundert kilometer ist es nicht derart eklatant, aber 180° kommt jedenfals nicht mehr exakt heraus lg haribo


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RandomHH
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  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-04

Danke, haribo, für diese wieder sehr anschauliche Erklärung! 😃 Im "meinem" Forum hat übrigens noch jemand (hns) mit einer umfangreichen Überlegung zu "Signalen im Rauschen" nachgelegt. Über mehrere Beiträge verteilt; Beginn hier: https://forum.archaeologie-online.de/discussion/comment/36005#Comment_36005 Die Reaktion von Geognost war zu erwarten. Und damit hat sich das Thema eigentlich erledigt. Aber durch die Beschäftigung mit den Antworten auf meine eher intuitiv gestellte Frage an das Thema habe ich wieder viel gelernt. Dank noch einmal an alle, die hier mitgewirkt haben! 😄


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Geognost
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  Beitrag No.32, eingetragen 2021-08-04

\quoteon(2021-08-03 16:56 - haribo in Beitrag No. 22) hab 6 weitere fast rechte winkel gefunden... einfach so aus spass, oder weil es bei 15 punkten eben auch schon 100 taleskreise gibt \quoteoff Hallo Haribo — und Gratulation, da Du gerade ein julianisches Lager gefunden hast: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54896_1_stm.png Dank auch für die Winkel, die ich auf die Schnelle in dieser nur kurz im Rahmen einer Diskussion erstellten Karte übersehen hatte. Jetzt sieht das Ganze doch eher nach einem Triangulationsnetz aus. (Die geodätisch uninteressanten sehr gestreckten Dreiecke habe ich mir erlaubt fortzulassen.)


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haribo
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  Beitrag No.33, eingetragen 2021-08-20

nein geognost, ich habe keinen neuen ort gefunden, nur gezeigt das es bei 15 orten jeweils, also von jedem ort aus, 105 winkelmöglichkeiten gibt, und da die alle im bereich 0 bis 180 grad sind jeweils zu erwarten ist, dass oft auch welche im bereich 89 bis 91 grad darunter sind... der rechte winkel kommt etwa genauso oft vor wie auch jedes andere beliebigen 2° winkelinterval. du würdest also beispielsweise auch ungefähr genausoviele 48°(+-1°) oder 13°(+-1°) oder jeden anderen winkelbetrag-winkel finden wenn du danach suchen würdest siehe #18 zeichne dir doch mal alle möglichen verbindungslinien zwischen 15 punkten auf,also von jedem punkt zu jedem anderen, das sind so viele linien kreuz und quer über den gesamten bereich, das nahezu das ganze blatt abgedeckt ist, also auch jeder weitere völlig unabhängig von dieser herleitung irgendwie interessante ort gaaaanz nahe an irgend einer dieser linien liegen würde... über jedem mittelpunkt jeder linie wäre ein taleskreis möglich und jede stelle unter jedem taleskreis hätte dann rechte winkel zu den beiden endpunkten der dazugehörigen linie, also immer noch: wenn es einfach aufgrund der geometrischen möglichkeiten, überall derartige winkel gibt kann man daraus genau eben einfach garnix herleiten bei 29 orten wird jeder (also jeder!) punkt innerhalb der karte zu zwei der dargestellten orten einen rechten winkel haben, siehe das beispielbild in #10, derartig dicht liegen die dann möglichen über 400 taleskreise dass immer einer nahe bei jedem punkt liegt, das bild ist nicht exakt aber typisch haribo p.s. natürlich erstmal herzlich willkommen geognost, auf dem matheplaneten


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