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Universität/Hochschule Phasenraumvolumen
kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2021-07-21 14:53


Hallo,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Der Hamiltonoperator ist \( H( \underline{q}, \underline{p}) = \frac{1}{2m} (\underline{p}^2 + m^2 \omega^2 \underline{q}^2 ) \). Gegeben sei ein System von N unabhängigen eindimensionalen identischen (aber unterscheidbaren) harmonischen Oszillatoren. Berechnen Sie die Anzahl der Zustände (zur Gesamtenergie E):

\(
\Omega (E,N) = \int\limits_{E-\Delta E < H(\underline{q}, \underline{p}) \leq E} \frac{d^Nq d^Np}{(2 \pi \hbar)^N}
\approx
\int\limits_{H(\underline{q}, \underline{p}) \leq E} \frac{d^Nq d^Np}{(2 \pi \hbar)^N}
\)

Die Approximation für große N ist gerechtfertigt.



Ich habe bisher:

\(
\Omega (E,N) = \frac{1}{2m (2\pi \hbar)^N} \int\limits_{0}^E d^N q \ d^N p \ ( \underline{p}^2 + m^2 \omega^2 \underline{q}^2 )
\)

Jetzt vermute ich, dass ich eine Ellipse

\(
\displaystyle \frac{p_1^2 + p_2^2 + ... + p_N^2}{2mE} + \frac{q_1^2 + q_2^2 + ... + q_N^2}{\frac{2E}{m \omega^2}} \leq 1
\)

habe und diese nun in einen Kreis transformieren muss, um dann mit der Formel für die Berechnung des Volumens einer D dimensionalen Kugel

\( \displaystyle V_D(R) = \frac{2\pi^\frac{D}{2} R^D}{D \Gamma(\frac{D}{2})} \)

weiterrechnen zu können.

Zur Notation:
Der Unterstrich bedeutet, dass es ein Vektor ist, der alle Teilchen enthält, also zum Beispiel:
\( \underline{q} = ( \vec{q_1}, \vec{q_2}, ..., \vec{q_N}) \)

Kann mir bitte wer weiterhelfen. Ich wär auch schon um eine kleine Hilfe dankbar, wie ich das zum Beispiel von der Ellipse in einen Kreis umforme.

Vielen Dank im Voraus,

kuckuck3



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semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-22 08:27


Moin kuckkuck3,

die Formel

2021-07-21 14:53 - kuckuck3 im Themenstart schreibt:
\(
\Omega (E,N) = \frac{1}{2m (2\pi \hbar)^N} \int\limits_{0}^E d^N q \ d^N p \ ( \underline{p}^2 + m^2 \omega^2 \underline{q}^2 )
\)

stimmt so nicht bzw. macht gar keinen Sinn. Die richtige Formel hattest du aber schon:

2021-07-21 14:53 - kuckuck3 im Themenstart schreibt:
\(
\Omega (E,N) = \int\limits_{E-\Delta E < H(\underline{q}, \underline{p}) \leq E} \frac{d^Nq d^Np}{(2 \pi \hbar)^N}
\approx
\int\limits_{H(\underline{q}, \underline{p}) \leq E} \frac{d^Nq d^Np}{(2 \pi \hbar)^N}
\)

Auch deine Idee mit der Verwendung des Ausdrucks für das Volumen einer $D$-dimensionalen Kugel mit Radius $R$ ist richtig. Verwende dazu die Koordinatentransformation
\[p_i \mapsto p_i' := \frac{p_i}{\sqrt{2mE}}, \quad q_i \mapsto q_i' := \frac{q_i}{\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}}\] durch. Dann gilt nämlich
\[H(\underline{q},\underline{p}) \le E \iff \underline{q'}^2+\underline{p'}^2 \le 1.\]
LG,
semasch



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-22 18:50


Hallo semasch,

danke für deine Antwort.

Ich komme schon weiter und konnte nun auch nachrechnen wie man auf diese Koordinatentransformation kommt. Allerdings kann ich die Aufgabe trotzdem noch nicht lösen.

Ich habe also nun:

\(
\Omega (E,N) = \displaystyle \int\limits_{E-\Delta E < H(\underline{q}, \underline{p}) \leq E} \frac{d^Nq d^Np}{(2 \pi \hbar)^N} \\
\approx
\displaystyle \int\limits_{H(\underline{q}, \underline{p}) \leq E} \frac{d^Nq d^Np}{(2 \pi \hbar)^N} \\
= \displaystyle \int\limits_{H(\underline{q}, \underline{p}) \leq E} \frac{d^Nq' \sqrt{\frac{2E}{m \omega^2}}^N d^Np' \sqrt{2mE}^N }{(2 \pi \hbar)^N} \\
= \displaystyle \frac{(2 \pi)^3 1^6}{6 \Gamma (3)} \frac{ (\frac{2E}{m \omega^2})^{N/2} (2mE)^{N/2}}{(2\pi \hbar)^N}
\)

Ich bin auch unsicher ob ich für den Radius dann einfach 1 einsetzen darf. Oder doch eher E?

Viele Grüße,
kuckuck3



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semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-22 23:39


2021-07-22 18:50 - kuckuck3 in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich habe also nun:

\(
\Omega (E,N) = \displaystyle \int\limits_{E-\Delta E < H(\underline{q}, \underline{p}) \leq E} \frac{d^Nq d^Np}{(2 \pi \hbar)^N} \\
\approx
\displaystyle \int\limits_{H(\underline{q}, \underline{p}) \leq E} \frac{d^Nq d^Np}{(2 \pi \hbar)^N} \\
= \displaystyle \int\limits_{H(\underline{q}, \underline{p}) \leq E} \frac{d^Nq' \sqrt{\frac{2E}{m \omega^2}}^N d^Np' \sqrt{2mE}^N }{(2 \pi \hbar)^N} \\
= \displaystyle \frac{(2 \pi)^3 1^6}{6 \Gamma (3)} \frac{ (\frac{2E}{m \omega^2})^{N/2} (2mE)^{N/2}}{(2\pi \hbar)^N}
\)

Das passt doch schon ganz gut, nur im letzten Schritt ist ein Fehler passiert. Der erste Bruch soll, denke ich mal, $V_6(1)$ sein. Richtig wäre stattdessen aber $V_{2N}(1)$, da wir es ja mit einer $2N$-dimensionalen Kugel zu tun haben. Beachte außerdem, dass in
\[V_D(R) = \frac{2 \pi^{D/2}}{D \Gamma(D/2)} R^D\] im Zähler nur $\pi$, nicht auch die $2$ mit $D/2$ potenziert wird.

LG,
semasch



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-23 00:01


Ok, dann komme ich auf

\( (\frac{E}{\hbar \omega})^N \frac{1}{N!} \)

In der Musterlösung steht allerdings noch ein Faktor 2 dabei, also

\( (\frac{E}{\hbar \omega})^N \frac{2}{N!} \)

Wie komme ich darauf? Oder ist da ein Fehler in der Musterlösung?

Viele Grüße,
kuckuck3



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semasch
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-23 10:18


2021-07-23 00:01 - kuckuck3 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ok, dann komme ich auf

\( (\frac{E}{\hbar \omega})^N \frac{1}{N!} \)

Das stimmt so.

2021-07-23 00:01 - kuckuck3 in Beitrag No. 4 schreibt:
In der Musterlösung steht allerdings noch ein Faktor 2 dabei, also

\( (\frac{E}{\hbar \omega})^N \frac{2}{N!} \)

Wie komme ich darauf? Oder ist da ein Fehler in der Musterlösung?

Wenn die Formulierung der Aufgabenstellung aus dem Ursprungspost die originale ist, dann lässt sich der Faktor $2$ nicht eindeutig nachvollziehen. Du könntest die Aufgabenstellung ggf. im O-Ton posten, dann können wir schauen, ob da nicht doch noch mehr Information drin steckt, die den Faktor $2$ erklärt.

LG,
semasch



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-23 11:05


Ich denke da kann man nicht mehr Informationen rausholen.

Vermutlich ist da ein Fehler in der Musterlösung. Diese ist nämlich ohnehin meist sehr schlampig.

Vielen Dank für deine Hilfe, hat mir echt geholfen 🙂

LG,
kuckuck3



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