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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Cohen-Macaulay & Miracle Flatness
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Universität/Hochschule J Cohen-Macaulay & Miracle Flatness
Kezer
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  Themenstart: 2021-07-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Hi, hat jemand einen Hinweis für (i) & (ii) => (iii) oder (i) & (iii) => (ii) für 26.2.G aus Vakils Buch? 26.2.G. Sei $\pi:X \to Y$ ein Morphismus zwischen $k$-Schemata lokal vom endlichen Typ mit $X$ and $Y$ equidimensional and $Y$ regulär. Zeige: Wenn zwei von den folgenden drei Eigenschaften gilt, dann auch die dritte: (i) $\pi$ is flach mit relativer Dimension $\dim{X} - \dim{Y}$. (ii) $X$ ist Cohen-Macaulay. (iii) Jede Faser $X_y$ ist Cohen-Macaulay, equidimensional von Dimension $\dim{X} - \dim{Y}$. Tipp (im Buch): Wenn $\varphi : B \to A$ flach ist, dann schickt $\varphi$ nicht-Nullteiler auf nicht-Nullteiler. Die Richtung (ii) & (iii) => (i) ist Miracle Flatness, aber ich bin mir nicht sicher, wie die anderen Richtungen funktionieren, bzw. ich habe Schwierigkeiten mit der Cohen-Macaulay Eigenschaft auf Fasern umzugehen.\(\endgroup\)


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-23

Idee zu (i) & (ii) => (iii): Sei $x \in X$,$y=\pi(x)$. Setze $B:=O_{Y,y}$ und $A:=O_{X,x}$ und betrachte $\phi: B \to A$ (ist flach). Das eind max Ideal von $m_B$ ist erzeugt von $b:=\dim B$ regulären Elementen $b_1,..., b_m$.(es existieren jedenfalls solche) Insb sind die nicht Nullteiler und nach dem Tipp ebenso deren Bilder $a_i:= \phi(b_i)$. Nach 26.2.8 (iib) ist $A/\phi(a_1)$ ebenso CM und die Dimension geht um eins runter. Dann berücksichtige, dass wenn du $b_i$ nacheinander aus $R$ rausmodest, $R/(b_1,..., b_i)$ regulär bleibt (https://stacks.math.columbia.edu/tag/00NQ). Dann könnte man vielleicht iwie per Induktion nach $\dim B$ argumentieren, denn Flachheit bleibt unter Basiswechsel durch $R \to R/b_i$ erhalten... Weißt du worauf ich hinaus möchte? Beachte, dass der lokale Ring von $x$ in der Faser über $y$ ja $A/m_B$ ist.


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Kezer
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) Erstmal danke für die Antwort! (Und sorry für die späte Rückmeldung.) \quoteon(2021-07-23 22:19 - KarlRuprecht in Beitrag No. 1) Dann könnte man vielleicht iwie per Induktion \quoteoff Gibt es eine Subtilität, die ich übersehe, dass du "irgendwie" schreibst? Soweit ich sehen kann, hast du ja bereits einen kompletten Beweis gegeben. (Man macht dein Argument $m$ mal und landet bei der Faser $A/\mathfrak{m}_B A \to B/\mathfrak{m}_B$.) (i) & (iii) => (ii) werde ich irgendwann die Tage drauf probieren (habe zurzeit doch weniger Zeit als erwartet), dein Argument hat mir schon geholfen besser mit der Situation umgehen zu können. Edit: Habe gelogen, (i) & (iii) => (ii) geht vielleicht einfach so: Prinzipiell machen wir dein Argument (fast?) rückwärts. Wir betrachten wieder den Ring zur Faser $A/\mathfrak{m}_B A$. Das Ideal $\mathfrak{m}_B A$ wird erzeugt von den Elementen $\varphi(b_1), \dots, \varphi(b_m)$ mit $m = \dim{B}$. Da die Faser Dimension $\dim{A} - m$ hat, folgt nach 26.2.D, dass $A$ Cohen-Macaulay ist.\(\endgroup\)


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KarlRuprecht
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-26

Nö, das "irgendwie" kannst du ruhig ignorieren, als ich das verfasst habe war ich etwas unkonzentriert, es enthält also kein Verweis auf irgendeine Subtilität im Beweis. Und ja, (i) & (iii) => (ii) läuft in der Tat wie das Argument oben nur rückwärts, nutzt dann einfach wieder iterativ 26.2.8 (iib).


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Kezer
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-26

Danke.


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