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Universität/Hochschule J Primzahlerzeugende Polynom-Funktion
PeterMeier123
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  Themenstart: 2021-07-23

Guten Tag ihr Lieben 🙂 Ich bin vor kurzem auf einen Satz gestoßen, der da heißt, dass es kein Polynom $p(x)$ geben kann, dessen Grad größer ist als $n \geq 1$ und dessen Koeffizienten $a_i \in \mathbb{Z}$ sind und dieses Polynom für alle $x \in \mathbb{Z}$ Primzahlwerte liefert. Ich will versuchen diesen Satz zu beweisen, dazu stelle ich hier einmal kurz meine Gedanken auf: 1.) Wenn $n = 0$ wäre, dann lautet das Polynom $p(x) = a_0$. Dies kann sehr wohl Primzahlwerte für alle $x \in \mathbb{Z}$ liefern, wenn $a_0$ selbst eine Primzahl ist. 2.) Wenn $n \geq 1$ und $p(0) = a_0$ keine Primzahl ist, dann wäre der Beweis hier fertig. Wenn jedoch $p(0) = a_0$ eine Primzahl ist, was folgt dann? Ich glaube man könnte hier mit dem Fundamentalsatz der Algebra arbeiten, dass ein Polynom $n$-ten Gerades $n$ Nullstellen hat, ich weiß dies hier jedoch gerade nicht passend einzubringen. Hat hier Jemand eine gute Idee? Vielen Dank!


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DavidM
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-23

Hallo PeterMeier, den Fundamentalsatz brauchst du hier nicht, dafür die Tatsache, dass jedes Polynom, das nicht das Nullpolynom ist, nur endlich viele Nullstellen hat. Betrachte $p(ka_0)$ für $k \in \mathbb{Z}$. Gruß, David


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PeterMeier123
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

Hallo DavidM, danke für die Antwort, ich führe mal eine Umformung durch: $$\begin{split}p(ka_0) &= a_n k^n a_0^n + a_{n-1} k^{n-1} a_0^{n-1} ... + a_1 k a_0 + a_0 \\ &= a_0 (a_n k^n a_0^{n-1} + a_{n-1} k^{n-1} a_0^{n-2} + a_1 k +...+1) \end{split}$$ Aber wie genau hilft mir das hier weiter? Ist die Idee, dass ich mit $a_0 (a_n k^n a_0^{n-1} + a_{n-1} k^{n-1} a_0^{n-2} + a_1 k +...+1)$ sagen kann, dass ich dies durch $a_0$ teilen kann, was nicht möglich sein sollte, da $p(ka_0)$ ja eine Primzahl sein sollte und ich hier dann eher eine zusammengesetzte "Zahl" habe? Nebenbei, wie kommt man überhaupt auf den Gedanken $ka_0$ einzusetzen?


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DavidM
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-24

Hallo, das ist der richtige Ansatz, allerdings ist $p(ka_0)$ nur zusammengesetzt, wenn der Ausdruck in der Klammer weder $1$ noch $-1$ ist. Es fehlt also noch ein Schritt. Ich hatte ja schon geschrieben, dass du ausnutzen musst, dass Polynome ungleich $0$ nur endlich viele Nullstellen haben. \quoteon(2021-07-24 09:22 - PeterMeier123 in Beitrag No. 2) Nebenbei, wie kommt man überhaupt auf den Gedanken $ka_0$ einzusetzen? \quoteoff Nun ja, man muss ja versuchen, zu zeigen, dass $p(x)$ für manche $x$ zusammengesetzt ist. Das geht natürlich am einfachsten, wenn man in $p(x)$ irgendetwas ausklammern kann. Und wenn $x=ka_0$ ist, kann man eben - so wie du es ja schon gemacht hast - zumindest $a_0$ ausklammern.


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PeterMeier123
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

\quoteon(2021-07-24 10:05 - DavidM in Beitrag No. 3) Es fehlt also noch ein Schritt. Ich hatte ja schon geschrieben, dass du ausnutzen musst, dass Polynome ungleich $0$ nur endlich viele Nullstellen haben. \quoteoff So ganz bin ich noch nicht dahinter gekommen... Wenn ich das richtig verstehe, wäre also die nächste Idee zu zeigen, dass $a_n k^n a_0^{n-1} + a_{n-1} k^{n-1} a_0^{n-2} + a_1 k + ... + 1$ höchstens $n$ Nullstellen hat. Dann wäre z.B. $(x-x_1)(x-x_2)$... eine Faktorisierung des Polynoms und damit wieder eine zusammengesetzte Zahl, wodurch dies keine Primzahl sein kann...?!


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-24

Der Ausdruck in der Klammer ist ein Polynom in $k$, das ich mal $q(k)$ nenne. Wenn dieser Ausdruck $=\pm1$ für alle $k$ wäre, was würde das für die Anzahl der Nullstellen von $q(k)^2-1$ bedeuten?


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PeterMeier123
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

\quoteon(2021-07-24 11:42 - zippy in Beitrag No. 5) Wenn dieser Ausdruck $=\pm1$ für alle $k$ wäre \quoteoff Dann wäre es kein Polynom mehr oder? \quoteon(2021-07-24 11:42 - zippy in Beitrag No. 5) was würde das für die Anzahl der Nullstellen von $q(k)^2−1$ bedeuten? \quoteoff Die Nullstellen wären dann doch $q(k)^2−1 = (q(k)+1)(q(k)-1)$?


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DavidM
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-07-24

\quoteon(2021-07-24 11:51 - PeterMeier123 in Beitrag No. 6) \quoteon(2021-07-24 11:42 - zippy in Beitrag No. 5) Wenn dieser Ausdruck $=\pm1$ für alle $k$ wäre \quoteoff Dann wäre es kein Polynom mehr oder? \quoteoff Das müssen wir zeigen. Beachte, dass das Polynom $q(k)^2-1$ nur endlich viele Nullstellen haben kann, also gibt es ein $k \in \mathbb{Z}$, für das $q(k)^2-1 \neq 0$ ist. Was folgt daraus?


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PeterMeier123
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

\quoteon(2021-07-24 12:14 - DavidM in


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DavidM
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  Beitrag No.9, eingetragen 2021-07-24

Ob $q(k)^2-1$ eine Primzahl ist oder nicht, wissen wir nicht, das ist auch nicht wichtig. Aber ja, wenn $q(k)^2-1 \neq 0$ ist, dann ist $p(ka_0)$ keine Primzahl. Ist dir klar, warum?


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PeterMeier123
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

\quoteon Aber ja, wenn $q(k)^2-1 \neq 0$ ist, dann ist $p(ka_0)$ keine Primzahl. Ist dir klar, warum? \quoteoff Ich glaube ja, daher versuche ich meinen Gedanken dazu einmal zu formulieren: Wenn es ungleich Null ist, dann kann man das Polynom quasi als faktorisierte Form aufschreiben, was dann wieder eine zusammengesetzte Zahl wäre, was nach Definition dann nicht richtig wäre. Es gibt also mindestens ein $k$ für das $p(k a_0)$ keine Primzahl ist. Wie würdest du das begründen 🙂


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DavidM
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-07-24

Nein, das stimmt so noch nicht (zumindest, wenn ich dich richtig verstehe): Zwar ist $q(k)^2-1=(q(k)-1)(q(k)+1)$ eine Faktorisierung, aber von der falschen Zahl: $q(k)^2-1$ ist ja nicht $p(ka_0)$. Der entscheidende Punkt ist ein anderer: Wenn $q(k)^2-1 \neq 0$ ist, muss wegen $q(k)^2-1=(q(k)-1)(q(k)+1)$ auch $q(k)-1 \neq 0$ und $q(k)+1 \neq 0$ sein. Also ist $q(k)$ dann weder $1$ noch $-1$. Außerdem ist ja $p(ka_0)=a_0 \cdot q(k)$ (so hatten wir $q(k)$ definiert). Da aber $a_0$ weder $1$ noch $-1$ ist und wir gerade gezeigt haben, dass es ein $k$ gibt, für das $q(k)$ weder $1$ noch $-1$ ist, ist $p(ka_0)$ für dieses $k$ keine Primzahl.


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PeterMeier123
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

Danke! Das ist jetzt sehr verständlich und nachvollziehbar. Mit meinem Beitrag #10 wollte ich quasi das veranschaulichen, was du in deinem ersten Absatz vorletzter Satz ausgesagt hast. Danke für eure Hilfe DavidM und zippy!👍


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