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Strukturen und Algebra » Ringe » Quotienten von Lokalisierungen
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Universität/Hochschule Quotienten von Lokalisierungen
Erratis
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  Themenstart: 2021-07-24

Guten Tag! Ich brüte gerade über eine Aussage, die ich in einem Beweis zum Hauptidealsatz von Krull gefunden habe (der einfache). Das Szenario ist, dass wir uns in einem lokalen, noetherschen Ring $R$ befinden mit maximalen Ideal $q$, wobei $q$ das minimale Primideal zu einem Hauptideal $\subset R$ ist. Ich wähle mir ein beliebiges minimales Primideal $p$ vom Nullideal und will zeigen, dass $\dim(R_p)=0$ gilt (Lokalisierung in $R$ mit mult.abg. Menge $R\backslash p$). Für die Menge aller Elemente aus $R_p$ mit "Zähler" aus $p$ schreibe $pR_p$. Nun wird gesagt, dass der Quotient $p^iR_p/p^{i+1}R_p$ für ein bel. $i>0$ ein Vektorraum über $R_p/pR_p$ ist. Ich sehe ein, dass es kein Element $x\in R_p/pR_p$ gibt, s.d. die Multiplikation mit einem Element aus $p^iR_p/p^{i+1}R_p$ $0$ ergibt, da ansonsten $x\in pR_p$ gilt und damit $x=0$ im Restklassenring ist. Aber ich bin zu doof zu sehen, warum wir eine Basis haben. Gibt es ein einfaches Argument dafür? Und kann man sich das ganze eventuell etwas schöner vorstellen? Ich finde es hart zu Lokalisierungen ein anständiges Bild im Kopf zu haben. Entschuldigt bitte, dass die Frage so vage gestellt ist.


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-24

Du willst wissen, warum $R_p / p R_p$ ein Körper ist? Tatsächlich ist $R_p$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $p R_p$ (und Quotienten nach maximalen Idealen sind ja immer Körper). Das liegt an der allgemeinen Klassifikation der Primideale in einer Lokalisierung $S^{-1} R$: Sie entsprechen den Primidealen in $R$, die zu $S$ disjunkt sind. Für $S = R \setminus p$ liefert das gerade das Gewünschte.


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Erratis
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

Hallo Triceratops, erst einmal vielen Dank für die Antwort. Dass dies ein Körper sein muss ist mir klar. Ich habe mich gefragt, ob man explizit eine Basis angeben kann. Denn (wenn ich das oben richtig begründet habe) kann es für die Operation durch einen Skalar $s\in R_p/pR_p$ nicht sein, dass für einen Vektor $v\in p^iR_p/p^{i+1}R_p$ $s.v=0$ gilt. D.h. die Frage ist: Warum finde ich eine Basis? Mir ist nicht klar, dass es $v_i\in p^iR_p/p^{i+1}R_p$ geben soll, die linear unabhängig über $R_p/pR_p$ sind und den ganzen Vektorraum erzeugen. Ist das aus irgendeinem Grund offensichtlich? Es kann sein, dass ich gerade mega auf dem Schlauch stehe. Oder folgt das direkt daraus, dass die Skalarmultiplikation wohldefiniert ist, ich eine abelsche Gruppe gegeben habe und damit die Vektorraumaxiome erfüllt sind und jeder Vektorraum eine Basis besitzt? D.h. das Brett das ich dann vor dem Kopf habe wäre der Irrschluss, dass ich eine Basis angeben muss, um zu beweisen, dass etwas ein Vektorraum ist. Wenn dies der Fall ist, dann entschuldigt bitte die blöde Frage, haha.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-24

Jeder Vektorraum hat eine Basis. Du musst sie hier nicht angeben, wenn es für den Beweis nicht unbedingt nötig ist.


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