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Mathematik » Topologie » Diffeomorphismus auf einer einfachen Mannigfaltigkeit zeigen
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Universität/Hochschule Diffeomorphismus auf einer einfachen Mannigfaltigkeit zeigen
dvdlly
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  Themenstart: 2021-07-24

Hi, Gegeben ist folgende Aufgabenstellung: Sei \(S^n_R\) die n-dimensionale Sphäre, \(U_i = \{x \in S^n_R \mid x_i > 0 \}\) und \(\Phi_i : U_i \rightarrow \mathbb{R}^n\). \((U_i,\Phi_i)\) sind dann Karten auf \(S^n_R\). Zeige: \(\Phi_j\circ \Phi_i^{-1}\) sind \(C^{\infty}\)-differenzierbar. Wieso ist \(U_i\) eine offene Umgebung in \(S^n_R\)? Das Bild von \(\Phi_j^{-1}\) ist doch eine Menge und kein Punkt, wie kann man dann \(\Phi_j\circ \Phi_i^{-1}\) definieren? Oder übersehe ich etwas?


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LetsLearnTogether
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-24

Hallo, \quoteon Das Bild von \(\Phi_j^{-1}\) ist doch eine Menge und kein Punkt, wie kann man dann \(\Phi_j\circ \Phi_i^{-1}\) definieren? Oder übersehe ich etwas? \quoteoff Das wäre dann das Bild der (Urbild-)Menge von $\Phi^{-1}_i$ unter $\Phi_j$. Also eigentlich ganz normal.


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dvdlly
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

Hey, Danke für deine Antwort. Ich meinte: \(\Phi_i^{-1}(y)\) ist doch eine Menge, wie kann man dann \(\Phi_j \circ \Phi_i^{-1}(y)\) definieren?


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}\) \quoteon(2021-07-24 15:27 - dvdlly im Themenstart) Wieso ist \(U_i\) eine offene Umgebung in \(S^n_R\)? \quoteoff Das macht man wie in der Analysis 1/2. \quoteon(2021-07-24 15:27 - dvdlly im Themenstart) Das Bild von \(\Phi_j^{-1}\) ist doch eine Menge und kein Punkt, wie kann man dann \(\Phi_j\circ \Phi_i^{-1}\) definieren? Oder übersehe ich etwas? \quoteoff Die Funktionen $\Phi_i, \Phi_j$ sind invertierbar nach Definition von Karten. Es geht hier nicht um (Ur-)Bild Mengen, sondern um gewöhnliche Funktionen.\(\endgroup\)


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