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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Herangehensweise bei der Konstruktion einer Abbildung
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Kein bestimmter Bereich Herangehensweise bei der Konstruktion einer Abbildung
m_neu
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  Themenstart: 2021-07-25

Hi Leute, ich hätte mal eine Frage, die mich ein wenig beschäftigt: Sei f:\INx\IN->\IN eine Bijektive Abbildung. Bestimme f so, dass f folgende Eigenschaften hat: 1. Es existiert ein a \in \IN mit a *f(x,y) = f(x,y-1) 2. 1/2 * f(x,y) = f(x-1,y) 3. f(0,0) = 0 Ist es möglich, so ein f aus den o.g. Angaben zu konstruieren und wie würde man vorgehen? Danke!


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-25

\quoteon(2021-07-25 11:15 - m_neu im Themenstart) 3. f(x,y) = 0 \quoteoff Schau dir nochmal an, was du da hingeschrieben hast. Die 3. Eigenschaft legt $f$ eindeutig fest, diese Funktion ist aber nicht bijektiv. --zippy


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m_neu
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-25

Hi, danke war ein Tippfehler habe ich korrigiert...


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-25

\quoteon(2021-07-25 11:41 - m_neu in Beitrag No. 2) danke war ein Tippfehler habe ich korrigiert... \quoteoff Die drei Eigenschaften führen immer noch zu einer nicht bijektiven Funktion. Hast du sie wirklich korrekt aufgeschrieben?


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m_neu
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-25

Hi, ja habe ich... Dann frage ich mal so, was Widerspricht denn der Bijektivität? Ich vermute mal, dass die Injektivität verletzt wird?! Grüße


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-25

\quoteon(2021-07-25 11:51 - m_neu in Beitrag No. 4) Dann frage ich mal so, was Widerspricht denn der Bijektivität? \quoteoff Berechne doch mal f(1,0).


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m_neu
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-25

Hi, kann man dass vielleicht so fixen? Sei f:\INx\IN->\IN eine Bijektive Abbildung. Bestimme f so, dass f folgende Eigenschaften hat: 1. Es existiert ein a \in \IN mit a *f(x,y) = f(x,y-1) falls f(x,y) ungerade 2. 1/2 * f(x,y) = f(x-1,y) falls f(x,y) gerade 3. f(0,0) = 0 dann müßte die Bijektivität erstmal gerettet sein?


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Triceratops
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  Beitrag No.7, eingetragen 2021-07-25

Es muss $a > 0$ sein (ansonsten wäre $f$ nicht injektiv). Dann bedeutet 1., dass $f(x,y)$ aus $f(x,y-1)$ berechnet werden kann. Und 2. bedeutet, dass $f(x,y)$ aus $f(x-1,y)$ berechnet werden kann. Man kann also $f(x,y)$ aus $f(x-1,y)$, das aus $f(x-1,y-1)$ (oder $f(x-2,y)$) usw. berechnen, bis man schließlich bei $ f(0,0)$ angelangt ist. Dafür wird der Wert in 3. festgelegt. Also ja, $f$ ist eindeutig. Die Aufgabe ist hier allerdings eine andere, nämlich ein konkretes $f$ anzugeben. Das ist mit dem Eindeutigkeitsbeweis aber nicht besonders schwer mehr. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


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zippy
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-07-25

Ich mag solche "hoppla, jetzt komm ich"-Beiträge, die das bisher Geschriebene einfach ignorieren.


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m_neu hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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