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Mathematik » Stochastik und Statistik » Verkettung ergodischer Abbildungen wieder ergodisch?
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Universität/Hochschule J Verkettung ergodischer Abbildungen wieder ergodisch?
Jonsy
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  Themenstart: 2021-07-25

Hallo liebe Forenmitglieder, ich sitze jetzt schon eine ganze Weile an folgender Aufgabe, aber komme einfach nicht weiter: Sei $(X, \mathbb{B}, \mu)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien $\phi, \psi : X \rightarrow X$ zwei ergodische Abbildungen bzgl. $\mu$ (also für alle $\phi-$ und $\psi-$invarianten Mengen gilt, dass sie entweder das Maß 0 oder 1 haben). Betrachte nun die Verkettung $\phi \circ \psi$. Ist diese Abbildung ebenfalls ergodisch oder nicht? Erst war meine intuition, dass die Verkettung ebenfalls ergodisch ist, das habe ich dann versucht, über verschiedene Wege zu beweisen, bin aber immer irgendwo gescheitert. Dann ist mir langsam der "Verdacht" gekommen, dass es wohl doch nicht stimmt. Aber auch auf der Suche nach einem Gegenbeispiel bin ich bisher nicht zum Ziel gekommen. Das hat mich auch vollends verunsichert hinsichtlich der "Intuition", was jetzt richtig ist. Momentan bin ich eher wieder auf der Schiene, dass die Verkettung auch ergodisch ist. Meine Idee: Sei $\mathcal{A} \subset X$ invariant bzgl. der Verkettung, also $\phi(\psi(\mathcal{A})) = \mathcal{A}$. Dann gibt es ja nur zwei Möglichkeiten, wie das überhaupt zustandekommen kann. Der erste Fall wäre, dass $\mathcal{A}$ sowohl bzwl $\phi$ als auch bzgl. $\psi$ invariant ist, also $\phi(\mathcal{A}) = \psi(\mathcal{A}) = \mathcal{A}$. Dann würde sich ja durch die Annahme, dass die beiden Abbildungen ergodisch (und damit auch maßerhaltend) sind ergeben, dass $\mu(\phi(\psi(\mathcal{A}))) = \mu(\psi(\mathcal{A})) = \mu(\mathcal{A}) \in {0,1}$ gilt. Das ist dann Ergodizität der Verkettung. Der zweite Fall wäre, dass $\phi = \psi^{-1}$ fast überall in $\mathcal{A}$, also dass die eine Abbildung fast überall auf der betrachteten Menge als Inverse der jeweils anderen Abbildung agiert. Wie kann ich hier auf die Ergodizität der Verkettung schließen? Oder bin ich doch auf dem Holzweg und es gibt ein Gegenbeispiel zu der Behauptung?! Kann mir jemand von Euch helfen bzw. einen Tipp geben? Würde mich sehr freuen :) . Beste Grüße.


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AnnaKath
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-25

Huhu Jonsy, die Komposition ergodischer Transformationen ist i.A. nicht selbst ergodisch. Es gibt ein Standardbeispiel ergodischer Transformationen, das Du hier auch benutzen kannst: Betrachte dazu $\Omega=\mathbb{R} / \mathbb{Z}$ mit der Borel-Algebra und dem Lebesguemass sowie dazu die Transformationen $f_{s} : \Omega \rightarrow \Omega$ mit $f_s(x) = x + s \: \mathrm{mod} \: 1$. $f_s$ ist genau dann ergodisch, falls $s$ irrational ist. lg, AK


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Jonsy
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-26

Hallo AnnKath, vielen Dank für deine Antwort, das hat mir sehr geholfen! Das ist also genau einer der Fälle, wo $\phi^{-1} = \psi$ gilt :) . Beste Grüße.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
AnnaKath
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-26

Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, wie man sich leicht an meinem Beispiel klar macht, dass es also auch ergodische Kompositionen ergodischer Transformationen geben kann, bei denen eben weder die gleichen Mengensysteme invariant sind noch die beteiligten Abbildungen (bis auf Nullmengen) invers zu einander sind.


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