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Logik, Mengen & Beweistechnik » Aussagenlogik » Implikationsketten in Beweisen und Gleichungsumformungen
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Kein bestimmter Bereich J Implikationsketten in Beweisen und Gleichungsumformungen
Ruperrrt
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  Themenstart: 2021-07-28

Hallo liebe Matheplanet-Community, ich habe eine Verständnisfrage zur Bedeutung von Implikationen bei Gleichungsumformungen oder auch bei direkten Beweisen der Form \(A_{1} \implies A_{2} \implies ... \implies A_{n} \). Ich starte mit einem einfachen Beispiel zur Illustration meines Verständnisproblems: \[x + 4 = -2x + 3 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3} \] Ganz einfache Gleichungsumformungen, aber was sage ich mit den verwendeten Implikationen genau aus? Ich weiß, dass wenn \(A\) und \(A \implies B\) beide wahr sind, dann ist auch \(B\) wahr. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das formal mit einer Wahrheitstabelle zeigen kann. Wäre das die Aussage \(A \land (A \implies B) \implies B\)? Kann mir hierbei jemand auf die Sprünge helfen? Weiterhin ist mir bekannt, dass die Implikation \(x = y \implies f(x) = f(y)\) wahr ist. Sage ich mit einer Implikationskette der obigen Art also (teilweise implizit): Nimm an \(x + 4 = -2x + 3\) ist wahr. Weiterhin gilt die obige Implikation \(x = y \implies f(x) = f(y)\), womit dann mit \(A \land (A \implies B) \implies B\) (???) auch \(3x = -1\) wahr ist. Ich verstehe es also derart, dass man für \[[(x + 4 = -2x + 3) \land (x = y \implies f(x) = f(y))] \implies 3x = -1\] einfach kurz \[(x + 4 = -2x + 3) \implies 3x = -1\] schreibt. Wenn man es also übertrieben als einen Gedankengang ausformuliert, meine ich mit derartig durch Implikationen verknüpften Gleichungsumformungen: Nimm an Gleichung A (hier: \(x + 4 = -2x + 3\)) ist wahr. Außerdem sind auch \(x = y \implies f(x) = f(y)\) und \(A \land (A \implies B) \implies B\) wahre Implikationen, die schreibe ich hier jedoch nicht zusätzlich auf, weil sie allgemeingültig sind, aber sie gehören strenggenommen zum Folgern des Wahrseins von \(B\) aus dem Wahrsein von \(A\) dazu. Mit diesen drei WAHREN Aussagen kann ich nun also auf die Wahrheit von B (hier: \(3x = -1\)) schließen, usw. Aber an diesem Punkt verstehe ich immer noch nicht, was man mit so einer Kette von Implikationen \(A_{1} \implies A_{2} \implies ... \implies A_{n} \) aussagt, wenn man es in Worte fasst. Sage ich damit: \(A_{1} \implies A_{2}\) ist eine WAHRE Implikation, außerdem ist \(A_{2} \implies A_{3}\) eine WAHRE Implikation usw., womit dann schließlich \(A_{1} \implies A_{n}\) eine WAHRE Implikation ist? Und damit letztendlich \(A_{n}\) wahr ist, wenn \(A_{1}\) wahr ist? Dabei nehme ich bei jedem Schritt eigentlich eine Implikation der Art \(A \land (A \implies B) \implies B\) zum Ableiten der Wahrheit von \(A_{i+1}\) aus \(A_{i}\) zur Hilfe? Denn nur so kann ich ja das Wahrseins von \(A_{i} \implies A_{i+1}\) zeigen. Ich habe versucht genau so zu formulieren, wie ich es momentan (nicht) begreife. Mir ist bewusst, dass es sich dadurch nicht so schön liest, aber ich hoffe, dass ich damit besser vermittle, wo ich gedanklich stehe. Ich freue mich über jede Hilfe! Viele Grüße Ruperrrt


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-28

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Ruperrrt
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-29

Hallo Vercassivelaunos, vielen Dank für deine Antwort! Um es nochmal in meinen Worten zu formulieren: Implikationsketten der Form \(A_{1} \implies A_{2} \implies ... \implies A_{n} \) sagen demnach aus, dass \(A_{1} \implies A_{2}\) eine GÜLTIGE (WAHRE) Implikation ist, ebenso \(A_{1} \implies A_{2}\) und so weiter? Wenn ich nun die Wahrheit einer Aussage \(A\) voraussetze und weiterhin aus z.B. einem mathematischen Satz weiß, dass \(A \implies B\) gilt, dann würde ich doch von von \([A \land (A \implies B)] \implies B\) Gebrauch machen, um die Gültigkeit von \(B\) zu zeigen, oder? Würde ich das dann explizit aufschreiben? Oder würde ich nur notieren \(A \implies B\)? Du hast Recht, dass ich es mir wahrscheinlich schwerer machen als es ist. Ich habe mir einfach einen gedanklichen Knoten bei der Thematik zurechtgedacht. Viele Grüße Ruperrrt


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-07-29

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Ruperrrt
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-09

Ich danke dir vielmals für deine beiden Antworten, Vercassivelaunos! :)


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Ruperrrt hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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