Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Fabi Dune ligning
Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » symmetrische Matrizen
Autor
Universität/Hochschule J symmetrische Matrizen
mathilde01
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.07.2021
Mitteilungen: 16
  Themenstart: 2021-07-29

Sei $V=M(n\times n,\mathbb R)$ der Raum der reellen $(n\times n)$-Matrizen und $V_+=\{A\in V | A=A^T\}$ der Unterraum aller symmetrischen Matrizen. Für eine feste Matrix $S\in V$ betrachten wir die Abbildung $f:V_+ \longrightarrow V$ $A\longmapsto S^TAS $ Zeigen Sie: a) $f$ ist linear b) Bild$(f)\subseteq V_+$ c)Die lineare Abbildung $f:V_+\longrightarrow V_+$ ist genau dann invertierbar, wenn $S$ invertierbar ist. a) und b) habe ich bereits gezeigt, bei c) komme ich allerdings nicht weiter.


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7795
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, hast du bedacht, dass die Inversen von invertierbaren symmetrischen Matrizen ebenfalls symmetrisch sind? Ich hätte da so eine Idee, wie man das für den Teil c) vewenden könnte. EDIT: Nein, das obige braucht man gar nicht (da hatte ich die Aufgabe falsch gelesen, sorry). Es muss ja eigentlich nur für jedes \(A\in V_+\) ein eindeutig bestimmtes Urbild unter \(f\) geben... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]\(\endgroup\)


   Profil
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3297
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-07-29

Es sind zwei Richtungen zu zeigen: 1) Wenn S invertierbar ist, dann hat f eine Inverse. Ansatz: Löse die Gleichung $B = S^T A S$ (durch Matrixoperationen...) nach $A$ auf. 2) Wenn f invertierbar ist, dann ist S invertierbar. Ansatz: $f(A)=I$.


   Profil
mathilde01
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 13.07.2021
Mitteilungen: 16
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-29

Sei also $S$ invertierbar. Dann ist $f(A)=S^TAS=B$ für ein $B\in V_+$ Umformen ergibt $A=S^{T^{-1}}BS^{-1}$. Die Umkehrfunktion ist also $f^{-1}(B)=S^{T^{-1}}BS^{-1}$. Sei umgekehrt $f$ invertierbar. Dann ist $f$ bijektiv. Also existiert ein $A\in V_+$ mit $f(A)=S^TAS=E_n$ Dann gilt: det($S^TAS$)=det($E_n$) det($S^2$)det($A$)=1 det($S)\neq$ 0 Damit ist $S$ invertierbar.


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7795
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.4, eingetragen 2021-07-29

Hallo, das sieht gut aus. 👍 Gruß, Diophant


   Profil
ligning
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3297
Wohnort: Berlin
  Beitrag No.5, eingetragen 2021-07-29

Ich würde noch erwähnen, dass mit S auch $S^T$ invertierbar ist, oder gleich $(S^T)^{-1} = (S^{-1})^T$ benutzen und so sehen, dass die inverse Abbildung sogar von der gleichen Form ist. Bei der anderen Richtung hätte es schon ausgereicht, an $(S^T A)S = I$ die Invertierbarkeit von $S$ abzulesen. Die Determinante braucht man da gar nicht ins Feld zu führen.


   Profil
mathilde01 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
mathilde01 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
mathilde01 wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]