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Universität/Hochschule J Lorenz-System: Ellipsoid zieht alle Trajektorien an
Miezekatze
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  Themenstart: 2021-07-30

Liebe Mathematiker, dieses Semester schreibe ich meine Bachelorarbeit über das Lorenz-System. Und unter anderem möchte ich den Beweis dazu aufschreiben, dass die Trajektorien des Lorenz-Systems früher oder später in einen beschränkten Ellipsoid eintreten und diesen nie mehr verlassen. Dazu verwende ich ein Buch von Sparrow. Das Lorenz-System hängt bei mir von den Parametern $\sigma,\rho,\beta>0$. Mein Hauptproblem ist, inwiefern mir eine Lyapunov-Funktion (die nicht mal auf ganz $\mathbb{R}^3$ eine Lyapunov-Funktion ist), mir etwas über den Verlauf der Trajektorie sagt. Bisher hatte ich die nur zur Bestimmung von Stabilität von Gleichgewichtspunkten verwendet. Ich geh einfach mal den Beweis grob durch und merke an den entsprechenden Stellen meine Unklarheiten an, und hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. Für $x=(x_1,x_2,x_3)$ wird eine Funktion $V(x)=\rho x_{1}^2+\sigma x_{2}^2+\sigma(x_3-2\rho)^2$ verwendet und gesagt, dass es sich um eine Lyapunov-Funktion handelt. Auch wenn das nicht für ganz $\mathbb{R}^3$ gilt, sondern wenn dann nur für eine Teilmenge $W\subseteq \mathbb{R}^3$, nehme ich das mal so hin. Es ist (wenn f das Lorenz-System ist) $\dot{V}(x)=\langle grad \ V(x), f(x) \rangle=...=-2\sigma(\rho x_{1}^2+x_{2}^2+\beta x_{3}^2-2\beta\rho x_3)$ und daraus sehen wir, dass es eine beschränkte Menge $D=\{x\in\mathbb{R}^3 | \dot{V}(x)\geq 0\}$ gibt, die nicht leer ist. Die Menge ist sogar kompakt und V nimmt auf D sein Maximum, das wir c nennen, an (Begründung ist mir klar). Als nächstes nehmen wir uns für ein $\epsilon>0$ einen beschränkten Ellipsoiden $E:=\{x\in\mathbb{R}^3 |V(x)\leq c+\epsilon\}$ und es ist $D\subseteq E$ (auch klar). Wir wissen dann, für $x\notin E$ ist auch $x\notin D$ und $\dot{V}(x)\leq 0$ (auch klar). Als nächstes betrachte ich eine Trajektorie, die durch solch einen Punkt $x \notin E$ verläuft. $V(x)$ wird entlang dieser Trajektorie immer kleiner, da $\dot{V}(x)\leq 0$ ist, und für $t$ groß genug ist schließlich $V(x)\leq c+\epsilon$ (denke, das passt noch). Aber jetzt kommt so langsam das, was ich nicht mehr verstehe (und das ist leider auch das entscheidende vermute ich): "Das bedeutet aber auch, dass die Trajektorie in den Ellipsoiden eintritt und diesen nicht mehr verlässt." $\Rightarrow$ Warum kann ich anhand dieser Lyapunov-Funktion nun folgern, dass die Trajektorie in $E$ liegt? Das würde ja heißen, dass V den Verlauf der Trajektorie beschreibt. Wenn ja, wieso ist das so? Ich nehme mal an, das liegt daran, dass $\dot{V}$ durch das Skalarprodukt von dem Gradienten von $V$ und $f$ beschrieben ist? Hmm... Mir fehlt da irgendwie der Zusammenhang... Aber vllt habe ich auch einfach irgendwo einen Denkfehler. Daher wäre ich für 'ne logische Erklärung oder einen Satz, der darüber eine Aussage macht, dankbar. Ich hoffe, mein Problem ist irgendwie nachvollziehbar. Danke schon mal! Viele Grüße Miezekatze


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Delastelle
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-02

Hallo Miezekatze! Zu Deiner Frage kann ich nichts beitragen. Aber falls Du nach Visualisierungen/Bildern zu Lorenz Attraktor suchst, kann das alte Dos-Programm Fractint helfen: Ein Aufruf unter DosBox: \sourceon Fractint fractint type=lorenz float=yes sound=off video=sf7 batch=yes maxiter=1000 map=goodega savename=zzztest2.gif bzw. wie eben nur type=lorenz3d \sourceoff liefert Bild 1 und 2 https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/15578_ZZZTEST2b.GIF https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/15578_ZZZTEST3b.GIF Viele Grüße Ronald


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haerter
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  Beitrag No.2, eingetragen 2021-08-04

Hallo, vielleicht übersehe ich etwas, aber V ist doch auf dem Rand von E maximal, nämlich \(c+\epsilon\) und im Innern kleiner. Andererseits ist auf dem Rand und in einer Umgebung des Rands $\dot{V}<0$, d.h. die Trajektorie hat nachdem sie im Innern von E ist einen Wert kleiner als $c+\epsilon$, der weiter fällt, zumindest solange, bis D erreicht ist. Dort könnte V wieder wachsen, aber nicht über den Wert c hinaus. Das ist jetzt noch nicht super formal, aber es ist schon relativ klar, dass $V=c+\epsilon$ (d.h. der Rand von E) nicht wieder erreicht werden kann. Viele Grüße, haerter


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Miezekatze
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-07

Hi, sorry, dass ich erst jetzt zurückschreibe. Erstmal danke für die Antwort. Was V macht ist mir klar, aber mir fehlt irgendwie der Teil, warum V mir eine Aussage über das Verhalten der Trajektorien gibt. Weil V ist zumindest nicht auf ganz $\mathbb{R}^3$ eine Lyapunov-Funktion. Vielleicht ist es auch offensichtlich, keine Ahnung :/ Viele Grüße Miezekatze


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haerter
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  Beitrag No.4, eingetragen 2021-08-08

Hallo, $V$ beschreibt nicht völlig den Verlauf der Trajektorie, aber die Niveauflächen von V sind ja ineinander geschachtelte Ellipsoide. Solange nun $\dot{V}<0$ ist, verläuft die Trajektorie "nach innen", d.h. hin zu kleineren $V$-Werten. Dafür gibt es viele Möglichkeiten, aber die Grundrichtung ist eben hin zu kleineren Werten von $V$. Das gilt irgendwann nicht mehr, aber da hat $V$ schon den Wert $c$ erreicht und in dem Bereich "zwischen D und E" kann $V$ nicht anwachsen, da kann die Trajektorie also nirgends wieder "nach außen" und zum Rand von $E$ gelangen. Wenn Du einen formalen Beweis daraus machen willst, würde ich so etwas versuchen: - es gibt einen Zeitpunkt $t_0$, an dem der Rand von $E$ erreicht ist, d.h. $V(x(t_0))=c+\epsilon$ - für ein kleines $\delta>0$ ist $V(x(t_0+\delta))t_0+\delta;\; V(x(t_1))=c+\epsilon\}$, falls ein solches $t_1$ existiert - Zeige, dass das nicht sein kann Vielleicht geht es aber auch anders und einfacher, das ist nur das, was mir so als erstes einfällt. Viele Grüße, haerter


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Miezekatze
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-11

Aaah okay! Klingt einleuchtend:) danke!


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