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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » φ ist ein orthogonaler Endomorphismus ⇒ φ ist ein Isomorphismus
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Universität/Hochschule J φ ist ein orthogonaler Endomorphismus ⇒ φ ist ein Isomorphismus
Max1338
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  Themenstart: 2021-08-01

Guten Abend, ich gehe gerade ein paar Aufgaben aus der Uni durch und habe dabei diese hier gefunden. \[ \text{Sei } V \text{ ein endlich-dimensionaler euklidischer Raum mit Skalarprodukt }\\ <·, ·> \text{ und sei } \varphi \text{ ein orthogonaler Endomorphismus von } V. \\ \text{Außerdem sei } U \leq V \text{ ein } \varphi\text{-invarianter Unterraum} \\ \text{z.Z: } \varphi \text{ ist ein Isomorphismus} \] Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob es wirklich so leicht ist wie ich annehme. Und zwar wissen wir: \(\varphi\) ist orthogonal, also ist \(\varphi\) injektiv. Außerdem gilt in einen endlich-dimensionalen Vektorraum: \[ \text{Für V mit Dimension } n \leq \infty\text{ sind äquivalent:}\\ \varphi\text{ injektiv} \Leftrightarrow \varphi\text{ surjektiv} \Leftrightarrow \varphi\text{ bijektiv} \\ \text{ da gilt: } rang(\varphi) = dim\text{ kern}(\varphi) + dim \text{ bild}(\varphi)\text{, und aus } \varphi \text{ injektiv } \Rightarrow \text{kern}(\varphi) = \{0\} \Rightarrow dim\text{ kern}(\varphi) = 0 \Rightarrow dim\text{ bild}(\varphi) = n \Rightarrow \varphi\text{ surjektiv} \] Das Einzige was ich noch nicht so ganz verstanden habe ist, warum gilt \(\varphi\) orthogonal \(\Rightarrow \varphi \) injektiv Evtl. könnte mir dort jemand einen kleinen Stupser geben. Grüße Max


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Student10023
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-01

f ist Ortogonal heißt, dass für v,w aus V gilt: = (das ist nur Definition). Du willst zeigen, dass dann f injektiv ist bzw. äquivalent dazu dass Ker f = 0. Sei v aus Ker f d.h f(v) = 0. Folgere mit Hilfe der Ortogonalität von f, dass v=0 ist.


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Max1338
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-02

\[ \text{Sei } \varphi(v) \in Kern(\varphi) \text{ so gilt } \varphi(v) = 0 \text{ d.h } \mid\mid\varphi(v)\mid\mid = 0. \\ \text{Nun wird klar, dass } \mid\mid\varphi(v)\mid\mid =^{*)} \mid\mid v \mid\mid = 0 \Rightarrow v = 0 \Rightarrow \text{kern}(\varphi) = \{0\} \Rightarrow \varphi \text{ ist injektiv}\\ \text{*): } \mid\mid \varphi(v)) \mid\mid^2 = <\varphi(v), \varphi(v)> =^{\text{Def. Orthogonal}} = \mid\mid v \mid \mid^2 \Rightarrow \mid\mid \varphi(v) \mid\mid = \mid\mid v \mid \mid \] Sollte so klappen denke ich.


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-02

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, wenn du die Nachricht von Student10023 oben betrachtest, dann geht das auch etwas einfacher. Sei $v\in V$ mit $f(v)=0$. Dann gilt $$ 0=\langle f(v),f(v)\rangle=\langle v,v\rangle. $$ Da $\langle\cdot,\cdot\rangle$ nach Voraussetzung ein Skalarprodukt (und damit positiv definit) ist, folgt $v=0$. LG Nico\(\endgroup\)


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