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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Fréchet - Differenzierbarkeit äquivalente Aussage
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Universität/Hochschule J Fréchet - Differenzierbarkeit äquivalente Aussage
marcletzgus
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  Themenstart: 2021-08-01

Hallo, ich möchte gerne die Frechet - Differenzierbarkeit näher verstehen. Habe mir dazu folgenden Eintrag auf Wikipedia durchgelesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet-Ableitung Im ersten Abschnitt "Definition" sind zwei äquivalente Definitionen aufgeschrieben worden. Ich kann nicht nachvollziehen, warum beide Definitionen äquivalent sind, daher möchte ich die Äquivalenz gerne beweisen. Ich tippe die Definition der Übersichtlichkeit halber nach: [Für zwei Mengen $M,N$ sei $N^{M} := \{f\; \vert \; f: M \rightarrow N \}$] Definition: Frechet - Differenzierbarkeit Gegeben seien (1) Zwei normierte Räume $(X, \| \cdot \|_{X} )$ und $(Y, \| \cdot \|_{Y} )$ (2) Eine offene Teilmenge $U \subset X$ Ein Operator $A \in Y^{U}$ heißt Frechet-differenzierbar an der Stelle $\varphi \in U$, wenn es einen beschränkten linearen Operator $A'(\varphi) \in Y^{X}$ derart gibt, dass $\lim\limits_{\| h \|_{X} \rightarrow 0} \frac{1}{\| h \|_{X}} \| A(\varphi + h) - A(\varphi) - A'(\varphi) h \|_{Y} = 0$ gilt. (a) Der Operator $A'(\varphi)$ heißt Frechet - Ableitung von $A$ an der Stelle $\varphi$. (b) Existiert die Frechet - Ableitung für alle $\varphi \in U$, dann heißt die Abbildung $A': U \rightarrow L(X, Y), \varphi \mapsto A'(\varphi)$ die Frechet - Ableitung von $A$ auf $U$. (c) Mit $L(X, Y)$ wird der Raum der stetigen linearen Abbildungen von $X$ nach $Y$ bezeichnet. (Hier eine nicht so wichtige Frage, aber nur aus Neugier: Kann man den Begriff der Differenzierbarkeit noch allgemeiner definieren? Z.B. für metrische oder topologische Räume? Falls nein, warum nicht? Warum muss $U \subset X$ eine offene Teilmenge sein ?) Im Folgenden geht es mir darum zu zeigen, dass obige Definition äquivalent zu folgender Aussage ist: Zu jedem $\varepsilon > 0$ gibt es ein $\delta > 0$ so, dass $\| A(\varphi + h) - A(\varphi) - A'(\varphi) h\|_{Y} \le \varepsilon \| h \|_{X}$ für alle $h \in X$ mit $\| h \| \le \delta$. Ich habe leider keinen richtigen Ansatz. "$\Rightarrow$" Sei $A \in Y^{U}$ ein Operator und Frechet-differenzierbar. Da existiert für jeden "Punkt" $\varphi \in U$ einen beschr. lin. Operator $A'(\varphi) \in Y^{X}$ mit $\lim\limits_{\| h \|_{X} \rightarrow 0} \frac{1}{\| h \|_{X}} \| A(\varphi + h) - A(\varphi) - A'(\varphi) h \|_{Y} = 0$. Per Definition bedeutet da (bin mir hier nicht zu 100% sicher) : $\forall\; \alpha > 0\; \exists\; \beta_{\alpha} > 0\; :\; \forall \; h \in U$ mit $ 0 < \| h \|_{X} < \beta_{\alpha}$ gilt $\left \| \frac{1}{\| h \|_{X}} \| A(\varphi + h) - A(\varphi) - A'(\varphi) h \|_{Y} - 0 \right \|_{Y} = \left \| \frac{1}{\| h \|_{X}} \| A(\varphi + h) - A(\varphi) - A'(\varphi) h \|_{Y} \right \|_{Y}$ Ich habe schon hier ein Problem. Vielleicht ist meine Lineare - Algebra - I - Vorlesung auch schon zu lange her. Was genau soll $\left \| \frac{1}{\| h \|_{X}} \| A(\varphi + h) - A(\varphi) - A'(\varphi) h \|_{Y} \right \|_{Y}$ denn sein? $\frac{1}{\| h \|_{X}} \| A(\varphi + h) - A(\varphi) - A'(\varphi) h \|_{Y}$ ist eine positive reelle Zahl, aber die Norm $\| \cdot \|_{Y}$ ist für Elemente aus $Y$ definiert und $Y$ muss ja nicht unbedingt die Menge der positiven reellen Zahlen sein. Was kommt da also heraus? Oder habe ich die Definition des Limes für normierte Räume falsch aufgeschrieben? Würde mich auf jede Antwort freuen. mfg, Marc


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-08-02

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, Es gibt viele verschiedene Begriffe der Differenzierbarkeit für verschiedene Situationen. Ich denke eine echte Verallgemeinerung auf metrische Räume wird insofern schwierig, als dass man dort im Allgemeinen keine Operationen hat und daher nicht einfach etwas wie $f(x+h)-f(x)$ schreiben kann. Und auch um lineare Abbildungen zu erklären braucht man zumindest mal einen Vektorraum (oder einen Modul). Man kann aber natürlich z.B. Differenzierbarkeit für Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten erklären. Für die Differenzierbarkeit in normierten Räumen muss man mit Funktionswerten in einer kleinen Umgebung jedes Punktes vergleichen können. Daher fordert man, dass $U$ offen ist. Das sichert einem anschaulich gesprochen, dass man in alle Richtungen noch ein bisschen Platz hat. Man kann Differenzierbarkeit aber auch auf abgeschlossenen Mengen erklären in dem man zum Beispiel die stetige Fortsetzbarkeit der Ableitung auf den Rand des Definitionsbereiches fordert. Seien nun $(X,\lVert \cdot \rVert_X)$ und $(Y,\lVert \cdot \rVert_Y)$ normierte Räume sowie $f\colon X\to Y$. Man sagt $\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell\in Y$ falls es für jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt, so dass $\lVert f(x)-\ell \rVert_Y <\varepsilon$ für alle $x\in X$ mit $0<\lVert x-x_0\rVert_X <\delta$ gilt. Das wäre die Konvergenz in allgemeinen normierten Räumen. Der Grenzwert den du Nachprüfen willst ist aber ein Grenzwert in den reellen Zahlen. Dort würde man als Norm ja typischerweise den Absolutbetrag und nicht die $Y$-Norm verwenden. Alternativ kannst du dir aber auch überlegen, dass $$ \lim\limits_{\| h \|_{X} \rightarrow 0} \frac{1}{\| h \|_{X}} \| A(\varphi + h) - A(\varphi) - A'(\varphi) h \|_{Y} = 0 $$ (als Grenzwert in $\mathbb R$) genau dann gilt, wenn $$ \lim\limits_{\| h \|_{X} \rightarrow 0} \frac{1}{\| h \|_{X}} \left( A(\varphi + h) - A(\varphi) - A'(\varphi) h \right) = 0 $$ (als Grenzwert in $Y$) gilt. LG Nico\(\endgroup\)


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marcletzgus
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

Hi! Sorry für die späte Antwort, ich schreibe nebenbei meine Hausarbeit, die mir leider viel Zeit raubt :-) Deine Antwort hat mir sehr geholfen! Jedoch verwirren mich da noch ein paar Sachen. \quoteon(2021-08-02 00:11 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Hallo, Es gibt viele verschiedene Begriffe der Differenzierbarkeit für verschiedene Situationen. Ich denke eine echte Verallgemeinerung auf metrische Räume wird insofern schwierig, als dass man dort im Allgemeinen keine Operationen hat und daher nicht einfach etwas wie $f(x+h)-f(x)$ schreiben kann. Und auch um lineare Abbildungen zu erklären braucht man zumindest mal einen Vektorraum (oder einen Modul). Man kann aber natürlich z.B. Differenzierbarkeit für Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten erklären. \quoteoff Ach so, verstehe. Das heißt, dass die Frechet - Differenzierbarkeit kein Spezialfall von der Differenzierbarkeit für Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ist, oder? \quoteon Seien nun $(X,\lVert \cdot \rVert_X)$ und $(Y,\lVert \cdot \rVert_Y)$ normierte Räume sowie $f\colon X\to Y$. Man sagt $\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell\in Y$ falls es für jedes $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ gibt, so dass $\lVert f(x)-\ell \rVert_Y <\varepsilon$ für alle $x\in X$ mit $0<\lVert x-x_0\rVert_X <\delta$ gilt. Das wäre die Konvergenz in allgemeinen normierten Räumen. Der Grenzwert den du Nachprüfen willst ist aber ein Grenzwert in den reellen Zahlen. Dort würde man als Norm ja typischerweise den Absolutbetrag und nicht die $Y$-Norm verwenden. \quoteoff Ich habe mal versucht, die Definition der Frechet-differenzierbarkeit aus Wikipedia unter Beachtung der Definition für Konvergenz in norm. Räumen, die du mir gegeben hast, ausführlicher zu formulieren. Geht also auch folgende Definition? Mit $L^{B}(X, Y)$ bezeichnen wir die Menge aller beschränkten (stetigen) linearen Operatoren Seien (1) $(X, \| \cdot \|_{X})$, $(Y, \| \cdot \|_{Y})$ zwei normierte Räume (2) $U \subset X$ eine offene Teilmenge von $X$ (3) $\varphi \in U$ ein Element von $U$ Ein Operator $A \in Y^{U}$ heißt Frechet - differenzierbar an der Stelle $\varphi$, falls ein $A' \in L^{B}(X, Y)$ existiert, so dass für die Abbilung $\psi: X \rightarrow \mathbb{R}, h \mapsto F(h) = \frac{\| A(\varphi + h) - A(\varphi) - A' h \|_{Y}}{\| h \|_{X}}$ gilt $\lim\limits_{\| h \|_{X} \rightarrow 0} F(h) = 0$ (Ist die Abbildung $\psi$ korrekt angegeben?) Das heißt, es gilt ..... Mit den Auslassungspunkten will ich andeuten, dass ich die Definition von $\lim\limits_{\| h \|_{X} \rightarrow 0} F(h) = 0$ ganz ausschreiben will. Aber ich weiß 1.) nicht, ob ich die Abbildung $\psi$ richtig angegeben habe. Ist $h$ die Variable, die auf Elemente von $\mathbb{R}$ abgebildet wird oder was genau? Ich habe einfach mal $h$ als Variable genommen. 2.) nicht, wie $\lim\limits_{\| h \|_{X} \rightarrow 0} F(h) = 0$ definiert ist. Ich weiß, wie $\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = l$ definiert ist. Aber was ist, wenn ich statt das $x$ unter dem Limeszeichen eine Norm habe? Was bedeutet das? Das sind die zwei Sachen, die mich noch verwirren. Ich glaube, wenn mir diese klar sind, kann ich den Beweis der Äquivalenz eigenständig weiterführen... Würde mich auf eine Rückmeldung freuen! :-) mfg, Marc


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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-04

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-08-03 14:52 - marcletzgus in Beitrag No. 2) Ach so, verstehe. Das heißt, dass die Frechet - Differenzierbarkeit kein Spezialfall von der Differenzierbarkeit für Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ist, oder? \quoteoff Triceratops hat mich noch darauf hingewiesen, dass das nicht ganz stimmt und sich der Begriff der "Berührung" direkt auf metrische Räume überträgt. Für mehr siehe seinen Artikel. \quoteon Mit $L^{B}(X, Y)$ bezeichnen wir die Menge aller beschränkten (stetigen) linearen Operatoren Seien (1) $(X, \| \cdot \|_{X})$, $(Y, \| \cdot \|_{Y})$ zwei normierte Räume (2) $U \subset X$ eine offene Teilmenge von $X$ (3) $\varphi \in U$ ein Element von $U$ Ein Operator $A \in Y^{U}$ heißt Frechet - differenzierbar an der Stelle $\varphi$, falls ein $A' \in L^{B}(X, Y)$ existiert, so dass für die Abbilung $\psi: X \rightarrow \mathbb{R}, h \mapsto F(h) = \frac{\| A(\varphi + h) - A(\varphi) - A' h \|_{Y}}{\| h \|_{X}}$ gilt $\lim\limits_{\| h \|_{X} \rightarrow 0} F(h) = 0$ (Ist die Abbildung $\psi$ korrekt angegeben?) \quoteoff Wieso schreibst du auf einmal $F$, wenn die Abbildung doch $\psi$ heißen soll? Ansonsten sehe ich hier zunächst kein Problem.

Edit: Natürlich musst du formal als Definitionsbereich $X\setminus\lbrace 0\rbrace$ nehmen. Das hatte ich vergessen zu erwähnen.

\quoteon 1.) nicht, ob ich die Abbildung $\psi$ richtig angegeben habe. Ist $h$ die Variable, die auf Elemente von $\mathbb{R}$ abgebildet wird oder was genau? Ich habe einfach mal $h$ als Variable genommen. \quoteoff Das $h$ in der Definition der Fréchet-Ableitung ist einfach ein Element von $X$. In deiner Abbildung $\psi$ wird das $h$ also völlig korrekt verwendet. Ich würde eventuell an das $\psi$ im Index noch die Stelle $\varphi$ unterbringen um klar zu machen, dass es gerade um diese Stelle geht, aber sonst ist mit $\psi$ erstmal alles in Ordnung. \quoteon 2.) nicht, wie $\lim\limits_{\| h \|_{X} \rightarrow 0} F(h) = 0$ definiert ist. Ich weiß, wie $\lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = l$ definiert ist. Aber was ist, wenn ich statt das $x$ unter dem Limeszeichen eine Norm habe? Was bedeutet das? \quoteoff So etwas ist eigentlich zunächst immer als Abkürzung zu verstehen. Wenn man z.B. die Definition der Konvergenz über Folgen betrachtet, so würde $$ \lim_{\lVert h\rVert_X\to 0} \psi(h)=0 $$ bedeuten: Für alle Folgen $(h_n)_{n\in \mathbb N}$ in $X$ mit $h_n\neq 0$ und $\lVert h_n\rVert_X\to 0$ gilt $$ \lim_{n\to \infty} \psi(h_n)=0. $$ Du kannst dir nun an dieser Stelle nochmal überlegen, ob es einen Unterschied zur Definition ohne die "Norm unter dem Limes" macht. LG Nico
\(\endgroup\)


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marcletzgus
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-07

So, hallo nochmal. Ich denke, jetzt habe ich's. Im Nachhinein fühlt man sich etwas doof, weil die Äquivalenz offensichtlich ist, aber die Schreibweise mit der "Norm unter dem Limes" hat mich extrem verwirrt. Ich gehe dabei nicht auf das Folgenkriterium ein, sondern auf die ursprüngliche Definition. Habe ich folgendes richtig verstanden? ______________________________________________________________________ Ich würde die Definition der Frechet - Ableitung zunächst mal anders schreiben: Seien (1) $(X, \| \cdot \|_{X})$, $(Y, \| \cdot \|_{Y})$ zwei normierte Räume (2) $U \subset X$ eine offene Teilmenge von $X$ (3) $\varphi \in U$ ein Element von $U$ Ein Operator $A \in Y^{U}$ heißt Frechet - differenzierbar an der Stelle $\varphi$, falls ein $A' \in L^{B}(X, Y)$ existiert, so dass für die Abbildung $\psi_{\varphi}: U\setminus \{ \varphi \} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \psi_{\varphi}(x) = \frac{\| A(x) - A(\varphi) - A' \cdot (x - \varphi) \|_{Y}}{\| x - \varphi \|_{X}}$ gilt $\lim\limits_{x \rightarrow \varphi} \psi_{\varphi}(x) = 0$ [In dieser Form haben wir damals in Analysis II auch die totale Differenzierbarkeit eingeführt. Da hatten wir diese "Norm unterm Limes" nicht. Das mache ich jetzt eben auch für die Frechet - Differenzierbarkeit.] $\lim\limits_{x \rightarrow \varphi} \psi_{\varphi}(x) = 0$ bedeutet nun: (a) $\forall\; \varepsilon \in \mathbb{R}_{\ge 0}\; \exists\; \delta \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ so, dass für alle $x \in X$ mit $0 < \| x - \varphi \|_{X} < \delta$ gilt $ \| \psi_{\varphi}(x) \|_{\mathbb{R}} = \vert \psi_{\varphi}(x) \vert = \psi_{\varphi}(x) < \varepsilon$ Die Aussage ist aber offensichtlich äquivalent zu (b) $\forall\; \varepsilon \in \mathbb{R}_{\ge 0}\; \exists\; \delta \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ so, dass für alle $(x - \varphi) \in X$ mit $0 < \| x - \varphi \|_{X} < \delta$ gilt $ \| \psi_{\varphi}(x - \varphi + \varphi) \|_{\mathbb{R}} = \vert \psi_{\varphi}(x) \vert = \psi_{\varphi}(x) < \varepsilon$ Wenn wir nun $h := x - \varphi$ setzen, bekommen wir die Aussage (c) $\forall\; \varepsilon \in \mathbb{R}_{\ge 0}\; \exists\; \delta \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ so, dass für alle $h \in X$ mit $0 < \| h \|_{X} = \| h - 0_{X} \|_{X} < \delta$ gilt $ \| \psi_{\varphi}(h + \varphi) \|_{\mathbb{R}} = \vert \psi_{\varphi}(h + \varphi) \vert = \psi_{\varphi}(h + \varphi) < \varepsilon$ Betrachte jetzt die Abbildung $\psi'_{\varphi}: U \rightarrow \mathbb{R}, h \mapsto \psi'_{\varphi}(h) = \frac{\| A(h + \varphi) - A(\varphi) - A' \cdot h \|_{Y}}{\| h \|_{X}}$. Es gilt $\psi_{\varphi}(h + \varphi) = \psi'_{\varphi}(h)$. Die Aussage (c) lässt sich dann umschreiben zu: (c') $\forall\; \varepsilon \in \mathbb{R}_{\ge 0}\; \exists\; \delta \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ so, dass für alle $h \in X$ mit $0 < \| h \|_{X} = \| h - 0_{X} \|_{X} < \delta$ gilt $ \| \psi'_{\varphi}(h) \|_{\mathbb{R}} = \vert \psi'_{\varphi}(h) \vert = \psi'_{\varphi}(h) < \varepsilon$ Das bedeutet: Für die Abbildung $\psi'_{\varphi}: X \rightarrow \mathbb{R}, h \mapsto \psi'_{\varphi}(h) = \frac{\| A(h + \varphi) - A(\varphi) - A' \cdot h \|_{Y}}{\| h \|_{X}}$ gilt $\lim\limits_{h \rightarrow 0_{X}} \psi'_{\varphi}(h) = 0$ Also gilt: $\lim\limits_{x \rightarrow \varphi} \psi_{\varphi}(x) = 0 \Leftrightarrow \lim\limits_{h \rightarrow 0_{X}} \psi'_{\varphi}(h) = 0$ Und statt $\lim\limits_{h \rightarrow 0_{X}} \psi'_{\varphi}(h) = 0$ schreibt man dann gerne auch $\lim\limits_{ \| h \|_{X} \rightarrow 0} \psi'_{\varphi}(h) = 0$, oder ? ______________________________________________________________________ So würde ich einem die Frechet - Ableitung erklären. Würde das so passen? mfg, Marc


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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, beachte noch, wie in meiner vorherigen Antwort angemerkt, dass du dein $\psi_\varphi$ nicht auf ganz $U$ definieren kannst, du musst bei $\psi_\varphi$ als Definitionsbereich $U\setminus\lbrace \varphi\rbrace$ nehmen um nicht durch Null zu teilen. Bei deiner Abbildung $\psi_\varphi'$ (wo du von $x-\varphi$ zu $h$ übergegangen bist) kannst du als Definitionsbereich auch nicht ganz $U$ verwenden. Du möchtest ja den Term $A(\varphi+h)$ auswerten und musst daher sicherstellen, dass $\varphi+h\in U$ gilt. Du könntest also für deine Definition ein $r>0$ derart wählen, dass $B_r(\varphi)\subseteq U$ gilt und dann deine Abbildung $\psi_\varphi'$ auf $B_r(0)\setminus\lbrace 0\rbrace$ definieren. Ansonsten sehe ich gerade keine weiteren Probleme. Ich kann dir ehrlich gesagt auch nicht sagen warum man diese "Norm unter dem Limes" schreibt. Ich sehe da formal keinen Unterschied. LG Nico\(\endgroup\)


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