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Mathematik » Stochastik und Statistik » Zufallsweg im x-y-Koordinatensystem
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Schule Zufallsweg im x-y-Koordinatensystem
danielamuc
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.08.2021
Mitteilungen: 6
  Themenstart: 2021-08-02

Hey, ich verstehe bei einer Aufgabe leider einen Teil der lösung nicht. Aufgabe: Von Ursprung eines 2-dimensionalen-Koordinantensystem (x;y) kann sich ein Punkt in einer bestimmten Zeiteinheit nach links, rechts, oben oder unten bewegen. Alle 4 Richtungen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Der nächste Punkt in einer bestimmten Zeiteinheit kann unabhängig vom vorherigen Punkt erreicht werden. Der Punkt (x;y) ist am Ziel angelangt, wenn gilt |x|+|y|= 3. Gesucht ist die zu erwartende Anzahl an Zügen, bis der Punkt am Ziel angelangt ist. Ich habe ein Baumdiagramm gezeichnet. Von (0;0) beginnend: 1. Stufe: (0;1), (1;0), (0;-1), (-1;0) 2. Stufe bezüglich (0;1): (0;2), (0;0), (1;1), (-1;1) 3. Stufe bezüglich (0;2): (0;1), (0;3), (1;2), (-1;2) 3. Stufe bezüglich (0;0): beginn wieder von „vorne“ im Ursprung 3. Stufe bezüglich (1;1): (1;2), (2;1), (1;0), (0;1) 3. Stufe bezüglich (-1;1): (-2;1), (-1;0), (0;1), (-1;2) Also gibt es die Wahrscheinlichkeit 7/16 (bzgl. der 1. Stufe), dass das Ziel erreicht wurde, und die Wahrscheinlichkeit 9/16, dass (bzgl. der 1. Stufe) der Anfangspunkt der 1. Stufe wieder erreicht wurde. Dies stimmt auch mit der Lösung überein. Ich verstehe aber nicht, warum die erwartete Anzahl an Zügen von den vier Punkten der 1. Stufe, also (0;1), (1;0), (0;-1), (-1;0), dann 2*16/7=32/7 sein soll. Und die insgesamt erwartete Anzahl dann 32/7 + 1 sein soll. Danke für die Erklärung.


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danielamuc
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.08.2021
Mitteilungen: 6
  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

Ich bin nun auf Markow-Ketten/ Random-Walk gestoßen. Ich weiß nicht, ob die Begründung für den Ausdruck 2*16/7 dann so richtig wäre: Um an das Ziel zu kommen, ist von der 1. Stufe aus mit der Wahrscheinlichkeit 7/16 oder man läuft "zurück", die Wahrscheinlichkeit wäre dann 7/16*9/16 oder man läuft zweimal zurück, dann ist 7/16*(9/16)^2 die Wahrscheinlichkeit, usw. Also ist insgesamt die erwartete Anzahl von der 1. Stufe aus: sum(7/16*(9/16)^k,k=0,n)=7/16*1/(1-9/16) = 16/7 ??? Ich habe die geomotische Reihe angewendet. Aber es würde der Faktor 2 noch fehlen??? WIe kommt man auf 2*16/7 und dann insgesamt auf 1+32/7?? Bin um Hilfen sehr dankbar.


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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7670
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.2, eingetragen 2021-08-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo und willkommen hier im Forum! Ich glaube, dein Denkfehler liegt drin, dass du nicht die mögliche Anzahl an Schritten berücksichtigst, die man benötigt. Die minimale Anzahl bis zum Erreichen eines solchen Punktes ist ja \(n=3\), und darüberhinaus sind nur Schrittzahlen der Form \(n=2n+1\) möglich. Aber, danach ist überhaupt nicht gefragt: \quoteon(2021-08-02 21:01 - danielamuc im Themenstart) Gesucht ist die zu erwartende Anzahl an Zügen, bevor der Punkt am Ziel angelangt ist. \quoteoff Es kommen also nur positive gerade Schrittzahlen infrage. Ich kann die angegebene Lösung auch (noch) nicht nachvollziehen, um ehrlich zu sein. Ich wollte dich aber vor dieser Denkfalle warnen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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gonz
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Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 3944
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  Beitrag No.3, eingetragen 2021-08-03

Hallo danielamuc, und auch von mir ein herzlich Willkommen! auf dem Matheplaneten. es ist vielleicht einfacher, die Aufgabe etwas allgemeiner zu betrachten, anstatt sich in der Nachverfolgung aller möglichen "Routen" zu verlieren. nehmen wir mal an, man würde auf irgendeinem Feld des "Innenraumes" starten. Dann ist der Erwartungswert unabhängig von der Vorgeschichte, also nur abhängig vom Startfeld. Aufgrund der Symmetrie muss er für einen Teil der Felder gleich sein, das kannst du am einfachsten erkennen, indem du dir die Situation aufzeichnest. Ich meine, es gibt nur vier grundlegend verschiedene Positionen, von denen die im Zentrum eine ist (nennen wir sie einmal A), eine weitere sind die direkt ans Zentrum horizontal oder vertikal anliegenden Felder (nennen wir sie B), etc. Insgesamt komme ich auf vier mögliche Arten von Positionen. Wenn man nun den Erwartungswert gem. Aufgabe für jeden der vier Typen als Varianlen nimmt, also zB Ea..Ed, dann kann für diese Erwartungswerte auch vier Gleichungen aufstellen. Befinde ich mich zum Beispiel im Zentrum an Punkt A, dann werde ich in der nächsten Runde sicher auf einem der Punkte auf B ankommen, und danach brauche ich noch im Mittel Eb Zǘge, es ist also Ea = Eb + 1. Auf diese Art ehrhältst du vier Gleichungen für vier Unbekannte, das heißt ein LGS das du Auflösen kannst. Kommst du damit weiter? Grüße und frohes Schaffen Gerhard/Gonz


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danielamuc
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Dabei seit: 02.08.2021
Mitteilungen: 6
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

Es ist die durchschnittliche Anzahl der Züge gesucht bis das Ziel erreicht. Das „bevor“ war unglücklich formuliert. Lieber gonz danke für die Antwort. Wegen dem Erwartungswert und den 4 Gleichungen bräuchte ich mehr Hilfe. Danke.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2021-08-03

Hallo danielamuc, \quoteon(2021-08-03 13:55 - danielamuc in Beitrag No. 4) Wegen dem Erwartungswert und den 4 Gleichungen bräuchte ich mehr Hilfe. \quoteoff Das meinte Gonz mit den vier Zuständen ("grundlegend verschiedenen Positionen"). Zusätzlich gibt es den Zielzustand Z: \sourceon Z Z C Z Z D B D Z Z C B A B C Z Z D B D Z Z C Z Z \sourceoff A enthält nur (0,0). B besteht aus (1,0), (0,1), (-1,0) und (0,-1). Etc. ... Z enthält alle Punkte (x,y), für die |x|+|y|=3. Wenn man sich beispielsweise im Zustand B befindet, ist der Folgezustand C (mit W'leit 1/4), A (mit W'keit 1/4) oder D (mit W'keit 1/2). Folglich ist Eb = 1/4 * Ec + 1/4 * Ea + 1/2 * Ed + 1. Außerdem ist Ez = 0.


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GrafZahl
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  Beitrag No.6, eingetragen 2021-08-03

\quoteon(2021-08-03 09:50 - danielamuc in Beitrag No. 1) ... Aber es würde der Faktor 2 noch fehlen??? ... \quoteoff Hy, intuitiv würde ich sagen, weil man von einem Feld mit |x|+|y|=1 nach 2 Schritten entweder bei |x|+|y|=3 oder wieder bei |x|+|y|=1 ist... MfG Graf Zahl


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danielamuc
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

Welche zahlenpaare liegen dann in C und D? Ich habe ja ein Baumdiagramm gezeichnet. In Z wären dann 5 Zahlenpaare? Also (0,3), (1,2), (-1,2), (2,1), (-2,1)? Ich weiß nicht, ob ich deine Gleichung dann richtig verstanden habe. Ich würde nach deiner zeichnung mit den Zuständen folgende Gleichugnen haben: Eb=1/4*Ec+1/4*Ea+1/2*Ed+1 Ec=3/4*Ez+1/4*Eb+1 Ed=1/2*Ez+1/2*Eb+1 Ea=4/4*Eb+1 Den Summanden +1 habe ich so verstanden, weil ich immer einen Schritt gegangen bin? Wegen Ez=0 wären die Lösungen dann: Ea=9/2 Eb=7/2 Ec=15/8 Ed=11/4 Ich hänge die Lösung an, dir wir bekommen haben. Es erscheint die Lösung so kurz. Weiteres wurde uns auch nicht erklärt :-( https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54894_Loesung.gif Danke für die Geduld und Hilfe!


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gonz
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  Beitrag No.8, eingetragen 2021-08-03

Hallo danielamuc, ich nehme an du hast dich beim Auflösen des LGS verrechnet (ich auch beim ersten Anlauf, aber man kann es ja prüfen, indem man die Lösungswerte nochmal in die Anfangsgleichungen einsetzt und schaut, ob sie dann alle erfüllt sind). Am Ende bin ich auf Ea=39/7 gekommen, was ja deinem Lösungsausschnitt entspricht.


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danielamuc
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

Ja, ich habe mich verrechnet, ich komme nun auf a=39/7 b=32/7 c=15/7 d=23/7 Und wegen den Zuständen: welche Zahlenpaare sind dann in C und D?


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danielamuc
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-08-03

Wie kann man jeweils die Summanden 1 in den Gleichungen interpretieren?


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.11, eingetragen 2021-08-03

\quoteon(2021-08-03 18:10 - danielamuc in Beitrag No. 9) Und wegen den Zuständen: welche Zahlenpaare sind dann in C und D? \quoteoff Da du die Gleichungen korrekt ablesen konntest, hätte gedacht, dass du die Zeichnung verstanden hattest. 🙃 Zur Verdeutlichung noch mal die Zeichnung mit Koordinatenachsen: \sourceon -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4 3 Z 2 Z C Z 1 Z D B D Z 0 Z C B A B C Z -1 Z D B D Z -2 Z C Z -3 Z -4 \sourceoff C und D bestehen also aus je vier Punkten und Z aus 12 Punkten. \quoteon(2021-08-03 18:30 - danielamuc in Beitrag No. 10) Wie kann man jeweils die Summanden 1 in den Gleichungen interpretieren? \quoteoff Stell dir vor, du befindest dich an irgend einer Stelle S. Mit W'keit 1/2 gehst du nach links einen Schritt zu einer Stelle T oder nach rechts einen Schritt zu einer Stelle U. Außerdem weißt du, dass du von T aus im Durchschnitt Et Schritte zum Ziel brauchst, und von U aus sind es zum Ziel durchschnittlich Eu Schritte. Von S aus brauchst du dann durchschnittlich Es = 1 + 1/2 * Et + 1/2 * Eu Schritte. Die "+1" rührt daher, dass du ja zunächst einen Schritt nach T oder U machen musst, um bei T oder U zu landen.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
gonz
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  Beitrag No.12, eingetragen 2021-08-04

Guten Morgen :) Die Reduzierung der Anzahl der Zustände ändert nichts prinzipielles, an sich kann man das LGS aufstellen oder Baumdiagramme zeichnen auch mit den Zuständen, die sich aus der Koordinatendarstellung ergeben. Es ist dann nur eben nicht mehr so handlich. Der "Baum" wird, weil man zurückkehren kann, zu einem "Netz", und das sähe dann so aus (nicht hübsch, ich hab grad nichts anderes zur Hand): https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/36025_2d-walk-xxs.png Eine mehr textuelle Beschreibung, wie du sie am Anfang gewählt hast, müsste natürlich auch funktionieren, wir können sonst nochmal gucken wo du da "hängen geblieben" bist... Grüße Gerhard


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gonz
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  Beitrag No.13, eingetragen 2021-08-05

Von hier aus kommt man tatsächlich auch dort an, wo du im Post #1 gestartet bist: Im ersten Schritt kommt man auf jeden Fall nach B, und in zwei weiteren Schritten ist man entweder "fertig" oder landet auch wieder in B. Damit kann man, wenn man zwei Schritte zusammenfasst, für die ungeraden Zeitstempel feststellen: Bei T=1 landet man bei B, ist man zum Zeitpunkt T (ungerade) in B, dann ist man mit der Wahrscheinlichkeit 7/16 in der Runde T+2 fertig, oder mit der Gegenwahrscheinlichkeit 9/16 wieder in B. Damit kommt die "7" ins Spiel, die wir auch als Nenner in den Lösungen des LGS sehen, und man kann mit der geometrischen Folge der Rückkehrwahrscheinlichkeiten nach B argumentieren. Der Faktor 2 kommt dann daher, dass wir jeweils zwei Schritte zusammengefasst haben, also entweder B-C-Z oder B-D-Z zum Ziel führt. Grüße aus dem Harz Gerhard/Gonz


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.14, eingetragen 2021-08-05

Bei dieser Aufgabe kann man tricksen, wie es in der Musterlösung gemacht wurde (und die ich jetzt verstanden habe). Das Verfahren mit den Zuständen und dem linearen Gleichungssystem lässt sich allerdings auch auf ähnliche Problemstellungen übertragen, bei denen die Ausgangssituation komplexer und/oder nicht ganz so symmetrisch ist.


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